Matematické Fórum

vanok · 03. 01. 2013 11:28 — Editoval vanok (03. 01. 2013 17:28)

Moze nas napadnut aj podobne cvicenie ako http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=54309

Najdite vsetki trojice $(x,y,z)$ celych cisiel takych, ze:
$x^2 + y^2 = z^3$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

VaK · 06. 01. 2013 19:01

Dobrý den,
tuto zajímavou úlohu už řešil L.Euler. Ten dokonce našel řešení obecnější úlohy,
kdy hledáme celá čísla splńující rovnici $x^2+y^2=z^n$ a tam ukázal, že pro
libovolné $n$ má rovnice nekonečně mnoho řešení (viz V.Sierpiňski: O rešenii
uravněnij v celych čislach (ruský překlad)). K naší rovnici:
Řešení se rozpadá na dvě části: Volíme celá čísla $u,v$ , pak

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Při jaké volbě $u,v$ dostaneme všechna řešení právě jednou pilný čtenář zjistí určitě sám.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

S pozdravem VaK.

vanok · 07. 01. 2013 03:19

Pozdravujem ↑ VaK:,
Vyborne.
Pre nasich kolegov stredoskolakov by bolo zaujimave podrobne popisat ako sa k tej odpovedi dostat.
Mozes to tu rozvinut?

VaK · 15. 01. 2013 19:39

Dobrý den,
omlouvám se že odpovídám pozdě, hledal jsem lepší postup. Úlohu jsem totiž
řešil hrubou silou, tj. prográmkem ve fortranu jsem našel všechna řešení
pro dané $z$ . Z nich vyloučíme ta, pro něž platí $(a^3x)^2+(a^3y)^2=(a^2z)^3$ .
Dostáváme tak tzv. primitivní řešení.
Z výsledků je zřejmé, že pro určité hodnoty platí:
$x=uz , y=vz$ pro určitá $u,v$ .
Pak $u^2z^2+v^2z^=z^3$ , tedy $z=u^2+v^2$ .
Další skupinu tvoří proměnné, pro něž lze použít Eulerovu identitu:
$[\pm \frac{(u+iv)^n+(u-iv)^n}{2}]^2+[\pm \frac{(u+iv)^n-(u-iv)^n}{2}]^2=(u^2+v^2)^n$
kde $i=\sqrt{-1}$ je imaginární jednotka. Pro $n=3$ dostáváme:
$[u(u^2-3v^2)]^2+[v(3u^2-v^2)]^2=[u^2+v^2]^3$
Ukázalo se však, že tyto vztahy nestačí k určení všech řešení. Např. pro $z<100$
existují ještě tyto možnosti:

x y z

35 120 25

170 310 50

140 505 65
208 481 65
320 415 65
364 377 65

51 782 85
210 755 85
285 730 85
323 714 85

atd.
které se mi nepodařilo pomocí předchozích vztahů vyjádřit.
S pozdravem VaK.