Matematické Fórum

teutates · 03. 01. 2013 18:11

Ahoj. Mam urcit bod na teto plose $2(x-1)^2 + 3(y+2)^2 + z^2 -4 =0$ , ktery je nejblizsi bodu $[4,2,-3]$ . Podle zadani bych z tohoto mel nejak udelat soustavu rovnic. Neni ale jak. Nemohli byste mi poradit?

kompik · 04. 01. 2013 09:21 — Editoval kompik (04. 01. 2013 11:50)

teutates napsal(a):
Ahoj. Mam urcit bod na teto plose $2(x-1)^2 + 3(y+2)^2 + z^2 -4 =0$ , ktery je nejblizsi bodu $[4,2,-3]$ . Podle zadani bych z tohoto mel nejak udelat soustavu rovnic. Neni ale jak. Nemohli byste mi poradit?

Pomerne priamočiaro napadnú človeku dve prirodzené cesty, ako niečo takéto riešiť.

Buď ako viazané extrémy. Najčastejší spôsob je cez Langrangove multiplikátory, viacero takýchto úloh nájdeš aj tu na fóre.

Druhý prístup je geometrický. Spojnica najbližšieho bodu s (4,2,-3) by mala byť kolmá na dotykovú rovinu. Učili sme sa ako vyzerá dotyková rovina k elipse a elipsoidu, v tomto prípade to bude $2(x-1)(x_0-1)+3(y+2)(y_0+2)+zz_0=4$ .
Teda normálový vektor dotykovej roviny v bode $(x_0,y_0,z_0)$ je $(2(x_0-1),3(y_0+2),z_0)$ .
Z toho, že kolmica na dotykovú rovinu má prechádzať bodom (4,2,-3) dostaneme takúto sústavu rovníc:
$x_0+2(x_0-1)t=4$
$y_0+3(y_0+2)t=2$
$z_0+z_0t=-3$
$2(x_0-1)^2+3(y_0+2)^2+z_0^2=4$ .
(Myslím si, že pri počítaní cez Lagrangeove multiplikátory vyjde veľmi podobná sústava.)

Neprišiel som však na nejaký priamočiary spôsob ako ju riešiť. WolframAlpha dáva takéto približné riešenia
http://tinyurl.com/ann8t8e
http://tinyurl.com/anmyp9p

Podľa toho, čo píšui tu, sa zdá, že to nie je jednoduchý problém:
Analytically compute signed distance of ellipsoid - MSE