Matematické Fórum

redhott · 04. 01. 2013 14:40

Dobrý den, potřeboval bych prosím poradit s následujícím příkladem, nějak nevidím souvislosti:

Kužel má vrchol ve středu kulové plochy s poloměrem $r$ a podstavná kružnice leží na povrchu koule. Určete, jaký největší objem může mít tento kužel.

kompik · 04. 01. 2013 14:52

↑ redhott:
Ak si označíš polomer podstavy a, tak vieš z Pytagorovej vety dorátať výšku (a teda aj objem) v závislosti od a.
Alebo obrátene, môžeš si zvoliť výšku v a dorátať polomer podstavy. (Táto druhá možnosť je asi o čosi jednoduchšia.)
Tak dostaneš funkciu, ktorú chceš maximalizovať.

Možno tento obrázok pomôže predstaviť si to: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spherical_Cap.svg

redhott · 04. 01. 2013 16:46

↑ kompik:

Děkuji za reakci a pěkný obrázek, ale nějak mi to nevychází:

$v^2= r^2-a^2, tj. v=\sqrt{r^2-a^2}$ a tedy pro objem kuželu platí:
$V=\frac{1}{3}\pi a^2\cdot\sqrt{r^2-a^2}$
a derivuji:
$V'=\frac{1}{3}\pi [2a\cdot\sqrt{r^2-a^2}+\frac{a^2(-2a)}{\sqrt{r^2-a^2}}]$
$V'=\frac{1}{3}\pi [\frac{2ar^2-2a^3-2a^3}{\sqrt{r^2-a^2}}]$

Nyní budu počítat stacionární bod:
$2ar^2-4a^3=0$
$2a(r^2-2a^2)=0$
Vyhovující bude: $a=\sqrt{\frac{r^2}{2}}$

Je to prosím takto ok?

kompik · 04. 01. 2013 16:56

O trochu jednoduchšie to asi bude, ak to budeme rátať ako funkciu od v:

$V=\frac\pi3\pi a^2v=\frac\pi3 (r^2-v^2)v$

$V' = \frac\pi3 (r^2-3v^2)$

$v^2=\frac{r^2}3$

$v=\frac{r}{\sqrt3}$

$a^2=r^2-v^2=\frac{2r^2}3$

$a=\sqrt{\frac23}r$

Mal by si dostať takú istú funkciu, keď si opravíš deriváciu - pri derivovaní odmocniny tam chýba 2 v menovateli. Takto to zderivoval WolframAlhpa: http://tinyurl.com/abkqqvn