Matematické Fórum

matez · 06. 01. 2013 16:15 — Editoval matez (06. 01. 2013 16:16)

Jak spočtu výšku trojuhelníku na stranu c, pokud znám délku strany c a uhly co leží na ní? Ďekuji.

byk7 · 06. 01. 2013 16:25

jak mám rozumět formulaci "uhly co leží na ní" ?

matez · 06. 01. 2013 16:26

uhly alfa a beta, tedy mezi AB a AC a AB a BC.

((:-)) · 06. 01. 2013 16:27

↑ matez:

To je pôvodné zadanie?

matez · 06. 01. 2013 16:29

ne.

byk7 · 06. 01. 2013 17:11 — Editoval byk7 (06. 01. 2013 17:23)

↑ matez:

Půjde to ze sinové věty, označme $x:=|PA|,$ kde P je pata výšky na stranu c, potom je $|PB|=c-x.$
Ze sinových vět pro trojúhelníky APC a BPC dostaneme
$\frac{v_c}{\sin(\alpha)}&=\frac{x}{\sin$\pi/2-\alpha$} \\ \frac{v_c}{\sin(\beta)}&=\frac{c-x}{\sin$\pi/2-\beta$},$
protože platí identita $\sin(\pi/2-t)=\cos(t),$ můžeme obě rovnice upravit na tvar
$\frac{v_c}{\sin(\alpha)}&=\frac{x}{\cos$\alpha$} \\ \frac{v_c}{\sin(\beta)}&=\frac{c-x}{\cos$\beta$},$
z obou rovnic vyjádříme $v_c$ a vzniklé rovnice porovnáme:
$v_c&=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cdot x=x\tan(\alpha) \\ v_c&=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}\cdot (c-x)=(c-x)\tan(\beta),$
máme tedy rovnici (s neznámou x)
$x\tan(\alpha)=(c-x)\tan(\beta),$
po jejím vyřešení už jenom dosadíme do vztahu
$v_c=x\tan(\alpha)$
a jsme hotovi.

Edit: Místo řešení dané rovnice můžeme najít obecný vztah mezi výškou a zadanými parametry.
Víme, že musí platit rovnice
$x\tan(\alpha)=(c-x)\tan(\beta),$
její úpravou dostaneme
$x\big(\tan(\alpha)+\tan(\beta)\big)=c\tan(\beta),$
vynásobíme výrazem $\tan(\alpha)$
$x\tan(\alpha)\big(\tan(\alpha)+\tan(\beta)\big)=c\tan(\alpha)\tan(\beta),$
a vydělíme výrazem $\tan(\alpha)+\tan(\beta)$
$x\tan(\alpha)=\frac{\tan(\alpha)\tan(\beta)}{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}\cdot c,$
vidíme, že výraz na levé straně je roven přesně $v_c$ a dále bychom mohli upravit goniometrický výraz na pravé straně, s trochou snažení dostaneme, že
$v_c=\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot c.$