Matematické Fórum

dumpman · 08. 01. 2013 16:10

Zdravím, mám bohužel 3 příklady/důkazy, se kterými si trochu lámu hlavu.

První:

Dokažte, že pro dvě čtvercové matice $A$ a $B$ platí $(A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}$ ,
práve když spolu A, B komutují, tedy platí $AB = BA$ .

-- tady jsem přišel na jednoduchý krok a pomocí o operací s maticovými rovnicemi se jakž takž dobral cíli, ale nepřijde mi to na důkaz dostatečně obecné, nevím jestli není vhodnější použít sumační vzorce

Druhý, obecnější

Necht $A$ a $B$ jsou dvě čtvercové matice, $n \in \mathbb{N}$ . Dokažte, že pokud $AB = BA$ , pak
$(A+B)^{n} = \Sigma _{k=0}^{n}(**)A^{n-k}B^{k}$

--tady zatím dost tápu

A do třetice

Nechť $p(x) = x^{3} - 7x^{2} + 13x -5$ je polynom a $A$ matice

5 2 -3
1 3 -1
2 2 -1

spočtěte polynom $p(a)$

--tady to asi bude jednoduche, jen nerozumim zadani, resp. spojitosti

Jinak, moc se omlouvám, ale nevím jak napsat kombinatoricky (n nad k), takze proto ty **, dále pak neumím zapsat matici.

Moc děkuji za kterékoli rady ke všem příkladům,
Díky