Matematické Fórum

koutnej

Zdravím, potřeboval bych poradit s výpočtem magnetického indukčního toku $\Phi$ . Indukční tok $\Phi = B\cdot S$ , kde B je magnetická indukce a S je plocha.. viz. obrázek 1.

V mém případě mám k dispozici data ze simulačního programu... jinými slovy mám kruhovou plochu o poloměru r a na tomto poloměru mám navzorkované hodnoty magnetické indukce B... to jsem naznačil na obrázku 2. (samozřejmě ve skutečnosti je vzorků mnohem víc). Protože je rozložení indukce na celé ploše souměrné podle osy Y, měla by mi tato přímka se vzorky stačit na dokončení celého výpočtu.

Z těchto dat vypočítám plochu pod křivkou pomocí lichoběžníkové metody (obr.3)

jenomže teď nevím, jak vzorec doplnit/upravit, abych tu vypočítanou plochu "orotoval" kolem osy Y, čímž bych měl získat ten magnetický tok. Přidat k němu něco jako $\pi \cdot r^{2}$ pro výpočet plochy závitu nebo spíše $2\cdot \pi \cdot r$ pro obvod?

Podle mé úvahy by se vzorec pro lichoběžníkovou metodu měl pro můj případ upravit na

ale nejsem si tím na 100% jistý a potřeboval byh, aby mi to někdo povrdil.
Díky.

Brano · 12. 01. 2013 17:33

V dvoch rozmeroch je to trocha komplikovanejsie ako v jednom. Dost to zavisi od toho akym sposobom mas rozlozene hodnoty $B_i$ v tom kruhu. Hlavne sa jedna o to, ci tvoria nejaku mriezku, napr. stvorcovu, alebo taku rotacnu, alebo su tam nahodne rozhadzane. To co ty navrhujes je OK za predpokladu, ze $B$ je rotacne symetricke - t.j., ze $B$ ma rovnake hodnoty na kruzniciach so stredom v strede $S$ .

PS: V dvoch rozmeroch pouzi symbol $\int_{S}$ namiesto $\int_a^b$ .

koutnej · 12. 01. 2013 18:46

Diky. Ano, předpoklad je takový, že stejné hodnoty $B$ tvoří soustředné kružnice se středem $S$ . Takže když je to OK, tak je to super :)

Ještě jednou díky.

Creatives

No na fyziku jsem levej, takže nevím co si představit pod pojmem magneticky indukční tok, magnetická indukce atd, ale podle obrázku č.2 bych použil vzorec pro objem rotačního tělesa při rotaci kolem osy y čili:
$V=2\pi \int_{a}^{b}x f(x) dx$

Když tak sorry.

Brano · 12. 01. 2013 19:22

Este ma napadlo... dufam, ze $B$ je kolme na $S$ inak by bolo trebe brat iba jeho priemet ... ale to asi je.
↑ Creatives:
Ano da sa to aj takto, co by lichobeznikovou metodou preslo na
$\sum_{i=1}^n\frac{x_if(x_i)+x_{i-1}f(x_{i-1})}{2}2\pi(x_i-x_{i-1})$
ale kedze nie som numerik tak neviem ktora schema bude presnesia, ale tato vyzera tak nejak krajsie aj kvoli tomu, ze tam vypadne ten zlomok.

↑ koutnej: vychadza vlastne z toho isteho vzorca, len mierne upraveneho (mozno nevedome:))
$V=2\pi \int_{a}^{b}x f(x) dx=\pi \int_{a}^{b}f(x) d(x^2)$ , kde to druhe je Rieman-Stieltjesov integral.

koutnej · 16. 02. 2013 16:29

Zdravím, nakonec jsem teda počítal podle tohoto vztahu
$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_if(x_i)+x_{i-1}f(x_{i-1})}{2}2\pi(x_i-x_{i-1})$
a vychází to asi správně, takže v tom nevidím problém a ještě jednou díky.

Teď bych ale potřeboval ten vzorec trochu upravit, a to tak, že místo rozložení jednotlivých funkčních hodnot na poloměru rotace, znám ty funkční hodnoty na průměru. Pořád si nějak nemůžu uvědomit, jak mám vzorec upravit a myslím, že proté smazání $2$ před $\pi$ asi nebude to pravé...

Vzorec potřebuju upravit, protože hodnoty kolem osy rotace už nemusí být symetrické.

Má někdo nějaký nápad?

martisek · 16. 02. 2013 16:41

↑ koutnej:

Jsou-li známy hodnoty na průměru a nejsou symetrické, je to dost průšvih, protože průběh indukčního toku nelze modelovat rotačním tělesem. V tomto případě asi nezbývá nic jiného, než získat tyto hodnoty nad dostatečným počtem různých průměrů (po nějakých rozumných úhlech) a objem tělesa počítat dvojným integrálem přes ten kruh.

koutnej · 17. 02. 2013 18:00

↑ martisek:

Tak to jsem asi v koncích, protože já získám ty hodnoty z 2D simulace, takže je znám pouze v jedné rovině. Nedokážu je tedy získat nad dostatečným početem různých průměrů. Nejjednodušší by bylo provést simulaci ze které tyto hodnoty získávám, ve 3D rozměru, ale na to nemám výpočetní prostředky a navíc jeden z požadavků úlohy je úlohu co nejvíce zjednodušit tak, abych si vystačil s obyčejným PC.

Brano · 17. 02. 2013 23:02

Tomu teraz nerozumiem, kruh je predsa dvojrozmerny... alebo to beries tak, ze tie dva rozmery su $x$ a $y$ - teda $B$ ? A pre kolko bodov to vlastne simulujes?

koutnej · 17. 02. 2013 23:40

↑ Brano:
Nevím úplně, jak to vysvětlit. Ze simulace dostanu matitci hodnot. Ta matice má roměr asi 3600x1600 a jsou v ní uloženy hodnoty té indukce $B$ . Postupně z matice vybírám jednotlivý řádky. Každej řádek přiložím zleva k ose rotace $y$ (postupně vlastně přiložím k té ose celou tu matici). Podle toho, jak velkej mám zrovna poloměr závitu, tak tolik sloupců od středu (od osy $y$ ) v tom řádku vyberu.. no a pak už pro výpočet použiju ten vzorec
$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_if(x_i)+x_{i-1}f(x_{i-1})}{2}2\pi(x_i-x_{i-1})$
teď ale potřebuju tu osu rotace posunout např. o kousek doprava. takže vlastně celá ta matice, souměrná podle osy $y$ zůstane.. jenom ta osa se posune... a tím už nebude matice symetrická a já jsem v koncích :)

Brano · 18. 02. 2013 02:46

A co teda reprezuntuju rozne riadky? Mas tam akoze viac zavitov a riadok urcuje na ktorom sa nachadzas?
Tomu s tou osou nerozumiem, co posuvas? Len volba osi (resp. suradnicoveho systemu) nemoze ovplyvnit vysledny tok...

Mozno by si mohol hodit link na podrobnejsi popis toho modelu.

koutnej · 18. 02. 2013 17:56

↑ Brano:
Ano, dá se říct, že každý řádek matice je jeden závit. Takže pokud má matice rozměr 3600x1600, tak mám 3600 závitů nad sebou.
Pokusím se to teda ještě vysvětlit na obrázcích. Na obrázku 1 je můj model ve 3D. Jde o válcovitý magnet a kolem něj závity. Magnet i závity mají střed na ose $Y$ .

Na obrázku 2 je naznačena rovina řezu $XY$ .

Obrázek 3 zobrazuje tutéž rovinu, ale už ve 2D. Hodnoty indukce B z celé roviny jsou pak zapsány v matici. Je naznačen poloměr jednoho závitu.

Toto byl první případ, který jsem počítal. Teď se ale střed závitů posune po ose X mimo střed magnetu... naznačeno na obrázku 4.

Když to samé pak zobrazím ve 2D rovině, dostanu obrázek 5.

Střed závitu se mi tedy posunul o nějaké $\triangle X$ doprava do $Y'$ , ale hodnoty indukce B zůstaly souměrné podle původní osy $Y$ . No a já teď potřebuju spočítat to stejné, co v prvním případě, kdy byl střed magnetu i střed závitů v jednom bodě.. tedy celkový magnetický tok plochou ohničenou závitem.

Brano · 18. 02. 2013 18:43

Ok uz tomu rozumiem. Cize riadky nie su zavity. Ale preco vlastne chces pocitat ten tok pre vsetky mozne rezy. Ak chces pocitat ten tok iba cez jednu konkretnu plochu, tak ti to $B$ staci vypocitat iba na nej, t.j. nepotrebujes nad a pod.

Ak to ale potrebujes pocitat cez vsetky rezy a je to teda tak, ze ten magnet je skutocne nejaky kus zeleza v cievke, teda ma ine materialove vlastnosti ako okolie, tak to $B$ naozaj nebude mat ziadnu ocividnu symetriu ak os toho valcoveho jedra bude posunuta vzhladom na os cievky. Cize smola potrebujes to pocitat v celom 3D. Ale ak pouzivas radovo $1000^2$ bodov tak mozes pouzit $100^3$ bodov a budes mat rovnaku zlozitost - na skolske ucely by to mohlo stacit.

koutnej · 18. 02. 2013 20:31

↑ Brano:
Tak teď tomu teda vubec nerozumím já :D
Nevím, jaké myslíš všechny možné řezy a jake nad a pod.. tak řekněme, že mam jenom jeden jediný závit, tedy matice má jediný řádek. A střed tohoto závitu je posunutý po ose $X$ mimo střed magnetu.

Brano · 18. 02. 2013 20:43

Tak v tomto pripade musis pocitat $B$ na celej kruznici, cez ktoru chces vypocitat tok

Ale z toho co pises sa mi tu nieco nezda. Ved $B$ vies vypocitat v kazdom bode priestoru aj ked tam je iba jeden zavit cievky - nie iba na jeho rovine. Preco by pocet riedkov tej matice mal nejak suvisiet s poctom zavitov, resp. co su teda tie hodnoty v matici? Ja som myslel, ze sa jedna o $B$ v prislusnom bode priestoru, ktory zodpoveda pozicii v matici. Resp. jedna sa teda vobec o cievku s nejakym kovovym jedrom, alebo som mimo?

koutnej · 18. 02. 2013 21:03

↑ Brano:
Pořád si nejsu jistej, že si rozumíme. Je to cívka bez jádra.. nebo spíše to jádro tvoří magnet... ale zapomeňme na cívku... pro zjednodušení stačí, že je magnet a kolem něho je jeden závit. Rovina, kterou tento závit ohraničuje je kolmá na rovinu, kterou jsem zobrazil na těch obrázcích. Závity jsou vodorovně v rovině $XZ$ a rovina, kterou mám nasimulovanou je k nim kolmo $(XY)$ . Ten 3D model jsem nakreslil je pro vysvětlení, ve skutečnosti mám v simulaci právě jenom tu 2D rovinu, protože 3D je moc výpočetně náročný. Takže vlastně hodnoty $B$ na řádku v té matici leží na průniku roviny závitu s rovinou simulace, viz obrázek 2.

Brano · 19. 02. 2013 12:44

To ze ci tam je alebo nie je jadro je dost podstatne, ale nechajme toto teraz tak. Napadlo ma ci to nahodou nemyslis takto (bez ohladu na to ako sa tam to $B$ zjavi):

1) Predtym si mal rotacne symetriske $B$ a pocital si jeho tok cez kruh, ktory mal os rovnaku ako je os symetrie $B$ .

2) Teraz mas aj nadalej rotacne symetricke $B$ , ale chces vypocitat tok cez kruh, ktory ma os rovnobeznu s osou symetrie $B$ nie vsak totoznu.

Na 2) by som potreboval odpoved ci si to myslim spravne, alebo nie.

koutnej · 19. 02. 2013 14:15

↑ Brano:
Ano, tak by to mělo být.

Brano · 19. 02. 2013 17:14 — Editoval Brano (19. 02. 2013 17:17)

Takze to by malo byt v pohode. Najlepsie je vyjadrit si tu novu kruznicu v polarnych suradniciach a integrovat tak. Lebo v polarnych suradniciach sa stale prejavi symetria $B$ . Mne to vyslo takto:

nech $R$ je polomer tej kruznice, tak bez vychylky to bolo
$\int_0^R2\pi B(r)rdr$
a s vychylenim stredu o $\Delta$
$\int_0^{R-\Delta}2\pi B(r)rdr+\int_{R-\Delta}^{R+\Delta}2\arccos\left(\frac{\Delta^2-R^2+r^2}{2\Delta r}\right) B(r)rdr$

ako sa z toho urobi lichobeznikova metoda je asi jasne.

Len upozornujem bod $r=0$ zodpoveda stredu symetrie $B$ a nie stredu kruznice.

koutnej · 21. 02. 2013 01:37

Vypadá to zajímavě, ale zatím se mi to nepodařilo uplně pochopit. Pokud to správně chápu, tak když z toho prvního vzorce (bez výchylky) udělám lichoběžníkovou metodu, dostanu ten můj vzorec
$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_if(x_i)+x_{i-1}f(x_{i-1})}{2}2\pi(x_i-x_{i-1})$
po sem to snad ještě chápu, ale ten druhý vzorec (s výchylkou) moc nevím.. první části rozumím..a taky z ní dokážu udělat tu lichoběžníkovou metodu.. je to vlastně to samé jako v prvním případě, jen s poloměrem toho závitu menším o $\triangle$ , ale ta část, která následuje za $+$ mi není jasná.. Mohl bys mi prosím zkusit nějak vysvětlit, jak si na to přišel? Třeba proč je tam prácě $arccos$ atd.

Brano · 21. 02. 2013 03:26 — Editoval Brano (21. 02. 2013 03:58)

To ako sa z toho urobi lichobeznikova metoda je predpokladam jasne, mas
$\int_a^bf(r)dr$ kde $f$ je cela ta funkcia vnutri integralu a pouzijes $\sum\frac{f(r_i)+f(r_{i-1})}{2}(r_i-r_{i-1})$

odvodi sa to takto
Nech ten posun o $\Delta$ je na x-ovej osi, t.j. rovnica tej kruznice je $(x-\Delta)^2+y^2=R^2$
prevedieme to do polarnych suradnic
$x=r\cos\phi$
$y=r\sin\phi$
$r\in[0,\infty),\ \phi\in[-\pi,\pi]$
dostaneme
$r^2-2\Delta r\cos\phi+\Delta^2=R^2$
kruh je potom
$r^2-2\Delta r\cos\phi+\Delta^2\le R^2$
Tuto nerovnicu chceme vyriesit s tym, ze premenna je $\phi$ a zvysok su parametre. Je fajn si to nakreslit a za predpokladu, ze $\Delta\le R$ dostaneme
pre $r\in[0,R-\Delta]$ bude $\phi\in[-\pi,\pi]$
a pre $r\in[R-\Delta,R+\Delta]$ bude $\phi\in\left[-\arccos\left(\frac{\Delta^2-R^2+r^2}{2\Delta r}\right),\arccos\left(\frac{\Delta^2-R^2+r^2}{2\Delta r}\right)\right]$

Tok je v polarnych suradniciach $\int_SB(r,\phi)rd\phi dr$
Kedze $B$ je rotacne symetricke, tak $B(r,\phi)=B(r)$ t.j. nezavisi od uhla a mozme urobit integrciu cez $\phi$ , len si musime ten integral cez $r$ rozdelit na dve casti a dostaneme
$\int_0^{R-\Delta}2\pi B(r)rdr+\int_{R-\Delta}^{R+\Delta}2\arccos\left(\frac{\Delta^2-R^2+r^2}{2\Delta r}\right) B(r)rdr$

Ak by bolo $\Delta\ge R$ , tak riesenim tej nerovnice je iba
pre $r\in[\Delta-R,\Delta+R]$ bude $\phi\in\left[-\arccos\left(\frac{\Delta^2-R^2+r^2}{2\Delta r}\right),\arccos\left(\frac{\Delta^2-R^2+r^2}{2\Delta r}\right)\right]$
a teda dostaneme
$\int_{\Delta-R}^{\Delta+R}2\arccos\left(\frac{\Delta^2-R^2+r^2}{2\Delta r}\right) B(r)rdr$

Hranicny pripad pre $R=\Delta$ mozme dostat z oboch vyrazov a je celkom pekny
$\int_{0}^{2R}2\arccos\left(\frac{r}{2R}\right) B(r)rdr$