Matematické Fórum

kexixex · 14. 01. 2013 19:05

Ahoj,
mam problem s ulohou: "Vysetrerte bodovou a stejnomernou konvergenci posloupnosti funkci $f_{n}(x)=e^{\frac{x}{n}}arctg(nx)$ pro $x\in [0,+\infty )$ "

muj postup:
vysetreni bodove konvergence $f_{n}(x) -> f(x)$ , kde pro $x=0:f(x)=0$ a pro $x\in (0,+\infty ):f(x)=\frac{\pi }{2}$
dale plati, ze $f_{n}(x) \in C( [ 0 ,\infty ));f(x)\notin C([0,\infty ))$ , tedy posl nekonverguje stejnomerne k f(x)
muze ale konvergovat lokalne stejnomerne, tedy uvazuju $x\in [\varepsilon ,\infty )$ .
V tomto momente nevim, jak dal, protoze bych mel overit, ze $\lim_{n\to\infty }(sup_{x\in [\varepsilon ,\infty )}|f_{n}(x)-\frac{\pi }{2}|)=0$ , ale to neplati, (vezmeme napr. posloupnost $x_{n}=n$ , potom $f_{n}(x_{n})=e.arctg(n^{2})->e\frac{\pi }{2}\not =\frac{\pi }{2}$ )...

Napada me brat $x\in [\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}]$ , rict, ze $f_{n}(x)$ jsou na tomto intervalu monotonni,tedy bud $sup|f_{n}(x)-f(x)|\le |f_{n}(\varepsilon _{1})-\frac{\pi }{2}|->0;n->\infty$
nebo $sup|f_{n}(x)-f(x)|\le |f_{n}(\varepsilon _{2})-\frac{\pi }{2}|->0;n->\infty$ tedy $f_{n}(x)$ konverguji lokalne stejnomerne na $(0,\infty )$ . Co myslite, je tenhle postup spravne? Dekuji za jakekoliv rady

Brano · 14. 01. 2013 19:58

Ano je to spravne, aj ked mne by prislo trochu zrozumitelnejsie keby posledny krok vyzeral takto: Kedze $f_n$ a $f$ su monotonne, potom
$\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|;x\in[\epsilon_1,\epsilon_2]\}=\max\{|f_{n}(\varepsilon _{1})-\pi/2|,|f_{n}(\varepsilon _{1})-\pi/2|\}\to0$ pre $n\to\infty$ .

kexixex · 14. 01. 2013 20:10

↑ Brano:
Ano, to je lepsi.. Diky!

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2013 19:05

stejnomerna konvergence posloupnosti funkci - priklad

#2 14. 01. 2013 19:58

Re: stejnomerna konvergence posloupnosti funkci - priklad

#3 14. 01. 2013 20:10

Re: stejnomerna konvergence posloupnosti funkci - priklad

Zápatí