Matematické Fórum

Prijde mi to trochu divne, protoze ten princip indukce vypada jako definice prirozenych cisel.

dobre usporadani => indukce

Sporem: Necht neplati zaver te indukce, tedy X!=N. Tak si vem mnozinu tech prirozenych cisel z N, ktera nejsou v X. M={n z N| ale n neni v X}, vem si nejmensi prvek m z M. ten ma predchudce m-1 (ten je ale v X) tedy m je v X a to je spor.
(tady potrebuji vedet o prirozenych cislech, ze jejich nejmensi prvek je 1 a ze kazdy prvek ma predchudce)

indukce => dobre usporadani

M je podmnozina N. Vem libovolny prvek m z M. Z M vyber jen prvky mensi nebo rovno m. tj. L = {n z M| n<=m}. L je konecna. No a ze koncna podmnozina N ma nejmensi prvek dokazes indukci(muis vedet, ze usporadani N je linearni)
(tady s tim argumentovanim, jsem si hodne nejisty. Potreboval bych vedet jaka je definice prirozenych cisel, abych vedel o co se muzu oprit)
(Tady si nejsem jisty jak se na N definuje usporadani(abych si mohl vzit mnozinu L) a taky nevim jak argumentovat proc je L konecne)

Aby to slo udelat precizneji, tak napis jak definujes prirozena cisla a usporadani na nich.

(je dost mozne, ze tu dost kecam, moc tomu nerozumim)

zda se mi ze obe tvrzeni jsou dve mozne definice prirozenych cisel:
indukce: N definuji jako X
dobre usporadani: N definuji jako nejmensi nekonecny ordinal. A nekonecnost vyresim tak, ze mnozina M je nekonecna pokud existuje proste zobrazeni z M do M, ktere neni na.

Ahoj, díky moc. Důkaz první implikace se mi moc líbí ;)

Přirozená čísla definuji pomocí Peanových axiomů:
1) 1 je přirozené číslo
2) Každé přirození číslo n má následovníka s(n)
3) Číslo 1 není následovníkem žádného přirozeného čísla
4) Dvě různá přirozená čísla mají různé nálsedovníky
5) . (princip matematické indukce)

N považuji za lineárně (úplně) uspořádané, tj.:
1)
2)
3)
4)

EDITED: Omlouvám se, v prvním příspěvku jsem ve formulaci jsem napsal neostrou inkluzi namísto chtěné vlastní podmnožiny .