Matematické Fórum

Eld · 17. 01. 2013 17:26

Můžete mi poradit co a jak? Už jsem prošel spoustu materiálu a stále to nechapu :D
$1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

První krok jsem udělal, ale druhý mi dělá problémy.
Děkuji

((:-)) · 17. 01. 2013 17:32 — Editoval ((:-)) (17. 01. 2013 18:04)

↑ Eld:

Predpokladáš platnosť pre n = k a na základe tohto predpokladu dokážeš pre n= k+1.

$1^2+2^2+ \ccdots+k^2 = \color{red}\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}$ ... predpokladáš a z toho dokážeš:

$\color{red}1^2 + 2^2 + \cdots +k^2\color{black} + (k+1)^2 = \cdots =\frac{(k+1)(k+2)$2(k+1)+1$}{6}$

Stačí nahradiť začiatok dokazovanej ľavej strany predpokladom a spočítať s $(k+1)^2$ ... po úprave priamo vyjde požadovaná (dokazovaná) rovnosť.

Eld · 17. 01. 2013 20:16

↑ ((:-)):
ted jsem zmatenej jeste více :-)
me to totiz vyslo asi jinak
$1^{2}+2^{2}+...+n^{2}+(n+1)^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+1)}{6}$

((:-)) · 17. 01. 2013 20:29 — Editoval ((:-)) (17. 01. 2013 23:35)

↑ Eld:

Čo Ti vyšlo inak?

Máš dokázať $1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

Keď postupuješ ako som Ti napísala, tak Ti to vyjde.

$\color{red}1^2 + 2^2 + \cdots +k^2\color{black} + (k+1)^2 = \color{red}\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}\color{black}+(k+1)^2$

$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}$

Keď správne upravíš ten posledný zlomok, dostaneš presne to, čo chceš dokázať, a síce, že za indukčného predpokladu platí rovnosť

$1^2 + 2^2 + \cdots +k^2\color{black} + (k+1)^2 =\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ ,

ktorá znamená, že dokazovaný vzťah platí pre všetky n (ukázal si pre prvé n, predpokladal si pre n=k, teda ľubovoľné n a d o k á z a l si to pre n = k+1, teda pre n nasledujúce po k, bez ohľadu na hodnotu zvoleného n).

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2013 17:26

Matematická INDUKCE

#2 17. 01. 2013 17:32 — Editoval ((:-)) (17. 01. 2013 18:04)

Re: Matematická INDUKCE

#3 17. 01. 2013 20:16

Re: Matematická INDUKCE

#4 17. 01. 2013 20:29 — Editoval ((:-)) (17. 01. 2013 23:35)

Re: Matematická INDUKCE

Zápatí