Matematické Fórum

Ivana · 20. 12. 2008 10:56

Prosím o kontrolu příkladu.Děkuji :-)

lukaszh

↑ Ivana:
Zaujímalo by ma prečo označuješ j ako imaginárnu jednotku. Alebo je to niečo iné? Pravdepodobne sú tam určité nedostatky. Nebudem tu odvodzovať vzťahy, ale začnem priamo od vzťahu, ktorý si myslela dobre:
$x^n=m\,;\;x\in\mathbb{C}\nlx_{k+1}=\sqrt[n]{|m|}\[\cos$\frac{\phi+2k\pi}{n}$+\text{i}\cdot\sin$\frac{\phi+2k\pi}{n}$\]\,;\; k\in\{0;1;2;\cdots;n-1\}$
Tento vzťah platí ale len pre $m\,>\,0$ .Teda keď chcem vypočítať prvý koreň, dosadím k = 0:
$x_{1}=\sqrt[8]{|2|}\[\cos$\frac{2\cdot0\cdot\pi}{8}$+\text{i}\cdot\sin$\frac{2\cdot0\cdot\pi}{8}$\]=\sqrt[8]{2}$1+\text{i}\cdot0$=\boxed{\sqrt[8]{2}}\nl x_2=\sqrt[8]{|2|}\[\cos$\frac{2\cdot1\cdot\pi}{8}$+\text{i}\cdot\sin$\frac{2\cdot1\cdot\pi}{8}$\]=\boxed{\sqrt[8]{2}$\frac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$}\nlx_3=\sqrt[8]{|2|}\[\cos$\frac{2\cdot2\cdot\pi}{8}$+\text{i}\cdot\sin$\frac{2\cdot2\cdot\pi}{8}$\]=\boxed{\sqrt[8]{2}\cdot\text{i}}\nlx_4=\sqrt[8]{|2|}\[\cos$\frac{2\cdot3\cdot\pi}{8}$+\text{i}\cdot\sin$\frac{2\cdot3\cdot\pi}{8}$\]=\boxed{\sqrt[8]{2}\cdot$-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$}\nlx_5=\sqrt[8]{|2|}\[\cos$\frac{2\cdot4\cdot\pi}{8}$+\text{i}\cdot\sin$\frac{2\cdot4\cdot\pi}{8}$\]=\boxed{-\sqrt[8]{2}}\nlx_6=\sqrt[8]{|2|}\[\cos$\frac{2\cdot5\cdot\pi}{8}$+\text{i}\cdot\sin$\frac{2\cdot5\cdot\pi}{8}$\]=\boxed{\sqrt[8]{2}\cdot$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$}\nlx_7=\sqrt[8]{|2|}\[\cos$\frac{2\cdot6\cdot\pi}{8}$+\text{i}\cdot\sin$\frac{2\cdot6\cdot\pi}{8}$\]=\boxed{-\sqrt[8]{2}\cdot\text{i}}\nlx_8=\sqrt[8]{|2|}\[\cos$\frac{2\cdot7\cdot\pi}{8}$+\text{i}\cdot\sin$\frac{2\cdot7\cdot\pi}{8}$\]=\boxed{\sqrt[8]{2}\cdot$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$}$
A ešte taká skúška správnosti je, že keď si tieto riešenia nakreslíš do roviny komplexných čísel a pospájaš ich tak dostaneš pravidelný 8-uholník :-) Ak ti nevyjde po riešení rovnice x^n = m pravidelný n-uholník tak si sa niekde pomýlila ;-)

Ivana · 20. 12. 2008 16:41

↑ lukaszh:Děkuji za úplné vysvětlení.:-)
To "j" je totéž co "i" , já to mám ještě zafixované z průmyslovky, kde jsme měli více té elektrotechniky než té matematiky.
A k předešlému příkladu :
..Tak se tedy počítá až do osmého (posledního členu .. děkuji , to jsem, chtěla vědět).

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2008 10:56

Binomická rovnice-odčítání

#2 20. 12. 2008 12:31 — Editoval lukaszh (20. 12. 2008 18:41)

Re: Binomická rovnice-odčítání

#3 20. 12. 2008 16:41

Re: Binomická rovnice-odčítání

Zápatí