Matematické Fórum

LRJ1 · 18. 01. 2013 20:11

Zdravím, prosím o radu: Výpočet dif.rovnice pomocí Laplaceovy transformace. Zasekl jsem se na rozkladu zlomku.
Zadání: $y''+2y'+y=sin t + cos t , y(0)=0 , y'(0)=0$ na intervalu $[0,\infty ]$ .
Výpočet: $p^2\cdot Y(p)-p\cdot y(0)-y'(0)+2\cdot (p\cdot Y(p)-y'(0))+Y(p)=\frac{1}{p^2+1}+\frac{p}{p^2+1}$
$Y(p)\cdot (p^2+2p+1)=\frac{1}{p^2+1}+\frac{p}{p^2+1}$
$Y(p)=\frac{1}{(p^2+2p+1)\cdot (p^2+1)}+\frac{p}{(p^2+2p+1)\cdot (p^2+1)}$
Jak rozložit tyto dva zlomky?
$\frac{A}{???}+\frac{Bp+C}{???}$
nebo
$\frac{A}{???}+\frac{B}{???}+\frac{Cp+D}{???}$
Pozn.: $p^2+2p+1=(p+1)^2$
Moc děkuji.

jelena · 18. 01. 2013 21:03

Zdravím,

nejdřív bych dala ke společnému jmenovateli pravou stranu rovnice $Y(p)\cdot (p^2+2p+1)=\frac{1+p}{p^2+1}$ a vykrátila po podělení:
$Y(p)=\frac{1}{(p^2+1)(p+1)}$

Parciální zlomky $\frac{A}{p+1}+\frac{Bp+C}{p^2+1}$ . Stačí tak? Děkuji.

LRJ1 · 18. 01. 2013 21:42

↑ jelena: Toho jsem si nevšiml. Teď už to bude v pohodě. Mockrát děkuji.
Pokračování výpočtu:
$\frac{A}{p+1}+\frac{Bp+C}{p^2+1}=\frac{Ap^2+A+Bp^2+Bp+Cp+C}{(p+1)(p^2+1}$
$p^2: 0=A+B$
$p: 0=B+C$
$1: 1=A+C$
$A=\frac{1}{2}$
$B=-\frac{1}{2}$
$C=\frac{1}{2}$
$Y(p)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{p+1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{p}{p^2+1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{p^2+1}$
Výsledek:
$y(t)=\frac{e^{-t}}{2}-\frac{cos t}{2}+\frac{sin t}{2}$
Vše souhlasí. OK. Mockrát děkuji!!!