Matematické Fórum

Skrytý text:
Značení si zavedu podle obrázku. Přesně jak píše TomF, jedná se o kolmici k ose daného úhlu. Já bych se tady pokusil o důkaz. Značení bodů si zavedu dle obrázku.

Takže, úlohu dokážu ve třech částech:
(1) ukážu, že délka tětivy je nejmenší tehdy, když je nejmenší obvod trojúhelníku, jemuž je kružnice vepsána
(2) ukážu, že obvod je nejmenší tehdy, když je nejmenší obsah zmíněného trojúhelníku
(3) dokážu, že obsah je nejmenší tehdy, když je trojúhelník rovnostranný

Takže:
(1) uvažme obecně dvě body M, P, každý z nich na jednom ze dvou ramen daného úhlu. Bod dotyku příslušné tětivy na kružnici označme K. Délka tětivy je tedy délka úsečky MP. . Protože ale (shodnost žlutých úseček), (shodnost oranžových úseček), tak . Úsečky AG, AH jsou pevně dané ze zadání. Obvod zkoumaného trojúhelníku AMP je roven . Obvod je tedy minimální, právě když je minimální úsečka MP.

__________________________________________________________________________

(2) Podle vzorce , kde je (konstantní) poloměr kružnice vepsané, je vidět, že obvod je minimální právě tehdy, když je minimální obsah.

_________________________________________________________________________

(3) Buď I průsečík osy zadaného úhlu a vzdálenějšího bodu kružnice. Bodem I veďme tečnu k této kružnici a body N, O nechť jsou průsečíky na ramenech tohoto úhlu. Ukážeme, že libovolný trojúhelník AMP, který není rovnoramenný se základnou MP, musí nutně mít větší obsah než trojúhelník ANO, který je rovnoramenný. Búno osa úhlu položena horizontálně a bod dotyku K nechť je búno v pravé polorovině. Rozdíl obsahů trojúhelníků AMP a ANO je roven rozdílu ploch trojúhelníků LNM a LOP (tedy rozdíl ploch těch zelených trojúhelníků). Ukážu, že trojúhelník LNM má větší plochu než trojúhelník LOP, a tedy i trojúhelník AMP má větší plochu než trojúhelník ANO. Bodem N veďme rovnoběžku k rameni AO a její průsečík s přímkou MP označme Q. Trojúhelníky LOP a LNQ (ty červené) jsou zjevně podobné. Protože bod K je v pravé polorovině, bude i bod L, definovaný jako průsečík přímek MP a NO, ležet v pravé polorovině. Proto , a tedy i trojúhelník LOP má menší obsah než trojúhelník LNQ. Protože ale Q je vnitřní bod úsečky LM, je trojúhelník LNQ součástí většího trojúhelníku LNM. Platí tedy nerovnost mezi obsahy , což jsme chtěli dokázat.