Matematické Fórum

ahoj,

procházím si otázky/definice/důkazy na můj zítřejší test z lineární algebry a mám tu několik otázek u kterých mi vůbec není jasné, co vlastně chtějí nebo jakým způsobem je vedený důkaz a proč. Mohli byste mi to nějak lidsky dovysvětlit ?

1. Nechť má polynom an = 1 a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má
všechny koeficienty reálné?
//tohle chápu, ale nevím proč musí být an=1. Podle mě by to fungovalo i pro jiné koeficienty.

2. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci
f(x) = sinx, g(x) = x2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé.
// Tady nevím jak bych na to měl jít. V materiálech vycházejí z toho, že kdyby byly LZ, musí jejich lin. kombinacer být rovna nulovému vektoru a pak z ničeho nic zkusí dosadit za koeficienty v lin. kombinaci čísla (0, pí, pí/2) - nevím proč.

3.Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny 𝑴 nejmenším podprostorem, který obsahuje 𝑴.
Nechť 𝑄 je nějaký podprostor obsahující 𝑀, tedy 𝑀 ⊆ 𝑄 a dále 𝑃 = 〈𝑀〉. Platí: 𝑃 = 〈𝑀〉 ⊆ 〈𝑄〉 = 𝑄, takže 𝑃 je nejmenší
//Vůbec ten důkaz nechápu. Bylo by možné ho nějak okomentovat?

4. Dokažte, že pokud má množina 𝑴 stejně prvků, jako je 𝐝𝐢𝐦𝑳, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když 〈𝑴〉 = 𝑳.
// Tady moc nevím jak na to.


Díky moc za jakoukoliv pomoc. :)