Matematické Fórum

bonb · 28. 12. 2008 18:56 — Editoval bonb (28. 12. 2008 18:58)

Mám malý problém týkajicí se zadaného vektorového pole $\vec{u}=2xy\vec{i}+(x^2+3y^2 )\vec{j}$ tedy na R2. Zjistit,zda je pole potenciálové a určit potenciál se mi podařilo, ale vypočítat $\int_{C}\vec{u}\vec{d}r$ , kde C je lomená čára spojujicí body [0,1],[1,2],[3,0] a [2,-4] už nikoliv:-( Totéž pak v případě,kdy je C zadáno jako křivka,např.: $4x^2+y^2=4$ . Nenašla by se tu dobrá duše,která by mi alespoň nastínila jak postupovat?

lukaszh

↑ bonb:
Rozober si to po častiach. Nakresli si čiaru a parametrizuj.
$\int_C\vec{u}(x,y)\,\textrm{d}\vec{r}=\int_{C_1}\vec{u}(x,y)\,\textrm{d}\vec{r}+\int_{C_2}\vec{u}(x,y)\,\textrm{d}\vec{r}+\int_{C_3}\vec{u}(x,y)\,\textrm{d}\vec{r}+\int_{C_4}\vec{u}(x,y)\,\textrm{d}\vec{r}$
Krivka - čiara C_1 je

Element dr:
$\textrm{d}\vec{r}=\sqrt{\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}(t)\]^2+\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}(1+t)\]^2}\,\textrm{d}t=\sqrt{2}\,\textrm{d}t$
$\vec{u}(x,y)=2xy+x^2+3y^2\nl\vec{u}(t)=2t(1+t)+t^2+3(1+t)^2=6t^2+8t+3$
$\int_{C_1}\vec{u}(x,y)\,\textrm{d}\vec{r}=\int_{0}^{1}\vec{u}(t)\sqrt{2}\,\textrm{d}t=\sqrt{2}\int_{0}^{1}$6t^2+8t+3 $\,\textrm{d}t$
Dúfam, že to je dobre :-) Hádam ma BrozekP opraví ;-D

Pavel Brožek · 28. 12. 2008 22:47

↑ lukaszh:

Bohužel musím :-)

Pole u je vektorové, nikoli skalární, to znamená $u(x,y)=(2xy,\,x^2+3y^2)$ . Myslím, že jsi spočítal křivkový integrál prvního druhu přes $C_1$ skalární funkce $u(x,y)=2xy+x^2+3y^2$ , což nebylo zadání. Zde jde o křivkový integrál druhého druhu (křivku nějak parametrizuješ, třeba tak jak jsi to udělal, spočítáš derivaci podle t z té parametrizace, zde vyjde $(1,1)$ a integruješ skalární součin funkce s tou derivací v odpovídajících mezích)

Pokud je to příklad na ověření toho, že integrál vyjde skutečně jako rozdíl potenciálů, pak bych to počítal jak jsi naznačil, rozkouskovat křivku, každou část parametrizovat... Pokud si ale mohu vybrat, tak rozhodně volím jiný postup - pole je potenciálové (má potenciál $x^2y+y^3$ ), stačí proto odečíst potenciál v počátečním bodě křivky od potenciálu v koncovém bodě křivky a máme výsledek :-)

Omlouvám se, že pořád jen opravuji. Poslední dobou fóru nevěnuji tolik času, vždy jen nakouknu, co se tu zrovna řeší, a pokud vidím něco, co se dá rychle opravit, snažím se alespoň tak pomoci.

lukaszh · 28. 12. 2008 23:37

↑ BrozekP:
Ďakujem a pokúsim sa zdvihnúť svoje "renomé" opravným výpočtom :-)
$\int_{C_{1}}2xy\,\text{d}x+(x^2+3y^2)\,\text{d}y=\int_{0}^{1}2t(1+t)\,\text{d}t+\int_{0}^{1}t^2+3(1+t)^2\,\text{d}t=\[3+8t+6t^2\]_{0}^{1}=9$

sydney · 02. 01. 2009 15:21

↑ BrozekP:
Tento postup mi přijde jednodušší a pokud jsem jej správně pochopil, byl by postup takovýto?
Koncový bod je [2;-4], počáteční bod [0;1], potenciál je $\phi(x,y)=x^2*y+y^3$
Do tohoto vztahu pak dosazuji za x 2 respektive 0 a zy y -4 resp. 1
Je to tak?

Pavel Brožek · 02. 01. 2009 15:48

↑ sydney:

Ano.

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2008 18:56 — Editoval bonb (28. 12. 2008 18:58)

vektorové pole

#2 28. 12. 2008 19:40 — Editoval lukaszh (28. 12. 2008 19:43)

Re: vektorové pole

#3 28. 12. 2008 22:47

Re: vektorové pole

#4 28. 12. 2008 23:37

Re: vektorové pole

#5 02. 01. 2009 15:21

Re: vektorové pole

#6 02. 01. 2009 15:48

Re: vektorové pole

Zápatí