Matematické Fórum

Maths · 27. 01. 2013 11:16

ahojte, pomohli by jste mi vyřešit tenhle příklad?

tři čísla tvoří tři po sobě následující členy aritmetické posloupnosti a součet jejich druhých mocnin je 126. Jestliže první číslo zmenšíme třikrát, druhé číslo necháme a třetí číslo zvětšíme čtyřikrát, dostaneme tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, určete tuto trojici čísel.

marnes · 27. 01. 2013 12:24

↑ Maths:

označíme
$a_{2}-d$
$a_{2}$
$a_{2}+d$

a platí

$(a_{2}-d)^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{2}+d)^{2}=126$ (1)

dále platí
$\frac{a_{2}}{\frac{a_{2}-d}{3}}=\frac{4(a_{2}+d)}{a_{2}}$ (2)

a řešil bych soustavu 2 rovnic o dvou neznámých

Arabela · 27. 01. 2013 12:40

Ahoj ↑ Maths:,
moja skúsenosť je taká, že u podobných úloh sa oplatí "odpichnúť sa od prostredného člena trojice (vedie to obvykle k rovniciam nižších stupňov).
Takže nech prostredný člen hľadanej trojice je a, ten predošlý bude a-d, a ten za ním a+d.
Trojica vyzerá teda takto: a-d, a, a+d.
Uplatnime podmienku so súčtom ich druhých mocnín a dostávame
$(a-d)^{2}+a^{2}+(a+d)^{2}=126$ ,
z čoho po úprave dostávame

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

.
Tri členy geometrickej postupnosti, ktoré dostaneme popísaným spôsobom, budú zjavne
$\frac{a-d}{3}, a, 4(a+d)$ .
Podiel za sebou nasledujúcich členov tejto postupnosti musí byť konštantný, takže musí platiť
$\frac{a}{\frac{a-d}{3}}=\frac{4(a+d)}{a}$ ,
z čoho po úprave máme

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!