Matematické Fórum

↑ PanTau:
Být tebou, asi to hned rozvinu podle definice, tak jak je to zadané. Na prvních dvou pozicích máš totiž jen dvě možnosti, který prvek vybrat.

Determinantem čtvercové matice řádu  nazýváme součet všech součinů  prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom označíme znaménkem permutace.

Konkrétně zde tedy začnu takto: Jako první prvek v součinu si vyberu levý horní prvek, k němu na druhou pozici mohu dát jen prvek na pozici 2,2, protože první jsem už použil a ostatní jsou nuly. Zbylá 2 místa jsou vlastně determinant 2x2. Tato permutace bude se znaménkem +, protože první 2 prvky leží na diagonále, což odpovídá identické permutaci.
Druhá možnost na začátku byla, zvolit první prvek ve druhém řádku, k němu lze v dalším sloupci zvolit už jen prvek v prvním řádku a zase zbyde det. 2x2. Tato permutace už ovšem bude lichá, protože na prvních 2 pozicích je jedna transpozice.

Hrozně to rozepisuju, ve skutečnosti se na to kouknu a napíšu

Také existuje taková hezká věta, která by se na to dala okamžitě použít, a to o determinantu blokově trojúhelníkové matice.

Nejsem si teď jistý, co myslíš rozvojem podle řádku, ale myslím, že bys k tomu potřeboval nějaký sloupec, který bude mít jen jeden nenulový prvek. Takový tam ale nemáš.

Jen vycházím z té definice a využívám těch 4 nul vlevo dole. Z toho důvodu se celý ten determinant rozpadne na součin 2 malých  subdeterminantů, z nichž jeden jsem zde : rozepsal a druhý jsem nechal být. Ten druhý je pravý dolní roh toho původního.

Je nějaký způsob, jak dostat některý z prvků pravé horní submatice do některého ze součinů, o kterých mluví definice, pokud začneme rozvíjet zleva?