Matematické Fórum

m2ria · 28. 01. 2013 15:04

Ahoj, neporadil by mi tu prosím někdo s tímto příkladem?

Zkoušela jsem obecné řešení, které mi ale nějak nevycházelo.

Udělala jsem
$y^{2} + 1$
$y^{2} = -1$

Což nelze..

Děkuji moc..:)

Bati · 28. 01. 2013 15:17

↑ m2ria:
Proč by to nešlo? Ta rovnice, o které píšeš má kořeny $\pm i$ , takže odpovídající reálný fundamentální systém rovnice $y''+y=0$ je $\{\cos{x},\sin{x}\}$ (ověř si). Teď jen hledáš řešení $y''+y=2e^x$ , což můžeš pomocí variace konstant, nebo nějaké metody pro speciální pravou stranu, pokud jste si nějakou takovou uváděli.

m2ria · 28. 01. 2013 15:19

↑ Bati:

Nojo! Děkuju moc! :)

Wellcosh

Homogenní část $y'' + y =0$ má řešení $y_h(x) = A \cdot \cos x + B \cdot \sin x$ . Partikulární řešení očekáváme ve tvaru $y_p(x) = C \cdot e^x$ , tj.
$C \cdot e^x + C \cdot e^x = 2e^x$ , zřejmě C=1, obecné řešení je tedy
$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = A \cdot \cos x + B \cdot \sin x + e^x$
Dosazením poč. podmínek:
$A + 1 = 2$
$B + 1 = 3$

Celkem:
$y(x) = \cos x + 2 \sin x + e^x$