Matematické Fórum

Petr1992 · 29. 01. 2013 15:16

dobrý den, mám problémy vypočítat tento integrál, můžete prosím pomoci?

$\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{2}-x-6}dx=$

Blackflower · 29. 01. 2013 15:24

↑ Petr1992: Asi to vidím na parciálne zlomky, menovateľ sa dá rozložiť na (x+2)(x-3).

Petr1992 · 29. 01. 2013 15:35

$\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{2}-x-6}dx=\int_{1}^{2}\frac{x}{(x+2)(x-3)}dx$

koukám na to ale stále nevím.... Integrování zlomků mi dělá problémy... co s tím mohu udělat dál tedy?

Blackflower · 29. 01. 2013 15:40

↑ Petr1992: Parciálne zlomky ste nebrali?
Ja by som najprv urobila neurčitý integrál pomocou parciálnych zlomkov:
$\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}=\frac{x}{(x+2)(x-3)}$
Vieš pokračovať?

Petr1992 · 29. 01. 2013 17:38

↑ Blackflower:
parciální zlomky učitel zmínil, že se je máme doučit, ale já nemám žádné skrypta:/ zkoušim se to nějak doučit přes tenhle web....

no podle toho co jste napsala, tak bych to počítal asi takhle:

$\int_{}^{}\frac{x(x-3)}{x+2}dx+\int_{}^{}\frac{x(x+2)}{x-3}dx$

ale.....stále s tím neumím moc hnout...jestli to mám vůbec upravené správně

Blackflower · 29. 01. 2013 17:57

↑ Petr1992: Podľa mňa je to naozaj najľahšie cez parciálne zlomky... ich princíp je asi taký, že si rozložíš výraz v menovateli na súčin a každému činiteľu tohoto súčinu prislúcha zlomok v tvare $\frac{A_i}{(v_i)}$ . $A_i$ je číslo, pokiaľ je menovateľ $v_i$ typu x-a, $A_i$ je v tvare $Mx+N$ , pokiaľ je menovateľ ireducibilný polynóm 2. stupňa (nemá reálne korene). Ak si kamarát s angličtinou, celkom dobre je to vysvetlené na wikipédii.
Tvoj príklad by som cez parciálne zlomky riešila asi takto:
$A(x-3)+B(x+2)=x$ - odstránenie zlomku z rovnice, čo som napísala v predchádzajúcom príspevku
$x(A+B)+1(-3A+2B)=x$
Koeficient pri premennej x je rovný 1, koeficient pri jednotkách je rovný nule, teda dostávame:
$A+B=1$
$-3A+2B=0$
Riešením tejto sústavy sú čísla $A=\frac{2}{5}, B=\frac{3}{5}$ .
Teda dostávame integrál: $\int \frac{2}{5(x+2)}+\frac{3}{5(x-3)}$
Toto sa už dá ľahko zintegrovať ako súčet.