Matematické Fórum

simonav · 31. 01. 2013 12:34

Dobrý deň, chcem vás poprosiť o vysvetlenie daného vzorca. je to vzorec na výpočet uhlopriečok vypuklého n-uholnika... vôbec tomu nerozumiem
n je počet vrcholov n- uholnika?
a prečo je tam ta 2 v menovateli zlomku hneď na začiatku?..

Ďakujem za váš čas..:))

Arabela

Ahoj ↑ simonav:,
vzorec pre počet uhlopriečok konvexného mnohouholníka možno odvodiť rôznymi spôsobmi. Jeden z nich je ten, ktorý je naznačený v Tvojom príspevku. Kombinačné číslo ${n\choose 2}$ predstavuje počet všetkých úsečiek, ktoré spájajú nejaké dva vrcholy mnohouholníka (keďže na poradí krajných bodov úsečky nezáleží, ide o kombinácie, konkrétne druhej triedy, lebo sa vytvárajú dvojice, z n prvkov). Toto kombinačné číslo však zahŕňa všetky dvojice vrcholov, takže nielen uhlopriečky, ale aj strany. Tých strán je n, a preto treba n odpočítať.

simonav · 31. 01. 2013 13:03

↑ Arabela:
dakujem..:)

Honzc · 31. 01. 2013 13:07 — Editoval Honzc (31. 01. 2013 13:32)

↑ simonav:
Tak si to rozebereme.
1. Podle toho co píšeš se jedná o úlohu. Kolik úhlopříček má (pravidelný) konvexní n-úhelník.
2. Pro řešení je potřeba si uvědomit co je to úhlopříčka. Je to spojnice dvou vrcholů, které spolu nesousedí. (spojnice těch, které spolu sousedí se nazývají strany n-úhelníka a je jich jako počet vrcholů, tedy n)
3. Nejdříve je potřeba si uvědomit kolik je spojnic n-bodů (vrcholů). Protože spojuješ vždy dva je jedno, jestli jde spojnice z bodu 1 do 2 nebo z 2 do 1 (je to pořád jedna a ta samá spojnice)
4. Máme-li tedy n vrcholů a spojujeme vždy 2 vrcholy je jejich počet dán kombinacemi 2-hé třídy z n-prvků. (nezáleží na pořadí prvků)
5. Kombinace k-té třídy z n prvků se zapíše $C_{k}(n)=\dbinom{n}{k}$
Pro náš případ $C_{2}(n)=\dbinom{n}{2}$
6. Kombinanační číslo se vypočítá $\dbinom{n}{2}=\frac{n!}{(n-2)!\cdot 2!}=\frac{n(n-1)}{2}$
7. Takto jsme spočítali všechny spojnice n-bodů (vrcholů). Abychom dostali počet úhlopříček je potřeba odečíst počet stran (a těch je n)
8. A tedy počet úhlopříček je $N=\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2}$

Po editaci.
Ze vzorečku je tedy pěkně vidět, že úhlopříčky má n-úhelník jehož počet vrcholů je větší než 3 (trojúhelník jak známo žádné úhlopříčky nemá)

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2013 12:34

kombinatorika

#2 31. 01. 2013 12:53 — Editoval Arabela (31. 01. 2013 13:23)

Re: kombinatorika

#3 31. 01. 2013 13:03

Re: kombinatorika

#4 31. 01. 2013 13:07 — Editoval Honzc (31. 01. 2013 13:32)

Re: kombinatorika

Zápatí