Matematické Fórum

pavelk · 31. 01. 2013 16:26

Dobrý den

Mám menší problém, nějak nemohu přijít na kloub řadám (obecně).
I když jsem se snažil porozumět zde na fóru i jinde různým vysvětlením, pořád mi to uniká.
Zatím jsem jen zjistil, že bych měl jako první krok určit podle jakého kritéria budu postupovat, ale vůbec nevím podle čeho se mám rozhodovat, které je to správné.

Mám tu dva příklady:
a)
$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(2n)!}{(n!)^{2}}$

b)
$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{3^n}{n^n}$

Použil bych asi podílové kritérium, na oba, protože tam vidím podíl - to je asi nesprávný postup.
Pak bych pomocí limity zjistil, čemu se rovná, pokud by vyšla < 1, pak řada konveruje.

Mohl by mě někdo nasměrovat jak typově stejné příklady řešit? Myslím, že jde hlavně o to si jich pár spočítat, jenže je třeba vědět jak na to. K tomu přidáme fakt, že jsem limity neviděl už 3 roky a každý si umí představit jak to asi dopadne...

Děkuji

Rumburak

↑ pavelk:
Zdravím.

Na první úlohu bude vhodné d'Alembertovo podílové kriterium - faktoriály se pak z velké části vykrátí.

Na druhou úlohu se lépe bude hodit Cauchyho odmocninové kriterium - odstraní se tím nepohodlná
n-tá mocnina ve jmenovateli.

pavelk · 31. 01. 2013 19:00

↑ Rumburak:
Děkuji. Takže jestli správně postupuji, tak a)
$\lim_{n\to\infty }\frac{(2n+2)! \cdot (n!)^2}{(2n)!\cdot ((n+1)!)^2} = \lim_{n\to\infty }\frac{2n+2}{(n+1)^2}=0 < 1$ => řada konverguje?

Stýv · 31. 01. 2013 20:05

kolik že je $\frac{(2n+2)!}{(2n)!}$ ?

pavelk · 31. 01. 2013 20:55 — Editoval pavelk (31. 01. 2013 20:58)

↑ Stýv:
Občas zapomínám, že jsem chodil na střední školu, kdysi :) ... $(2n+2)(2n+1)$
Takže je to tedy:
$\lim_{n\to\infty }\frac{(2n+2)! \cdot (n!)^2}{(2n)!\cdot ((n+1)!)^2} = \lim_{n\to\infty }\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}= \lim_{n\to\infty }\frac{(4n^2+6n+2)}{(n+1)^2}= 4 > 1$ - diverguje?

Stýv · 31. 01. 2013 21:04

↑ pavelk: jo

pavelk · 31. 01. 2013 21:26

↑ Stýv:
Děkuji, jdu se pokusit o b) :)

pavelk · 31. 01. 2013 21:42

↑ pavelk:
b)
$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{\frac{3^n}{n^n}}= \frac{3}{n} = 0 < 1$ - konverguje?

Rumburak · 01. 02. 2013 09:14

↑ pavelk:

Určitě jsi to myslel dobře, pouze jsi to špatně zapsal. Mělo být

$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{\frac{3^n}{n^n}}= \lim_{n\to\infty }\frac{3}{n} = 0 < 1$

pavelk · 01. 02. 2013 13:56

↑ Rumburak:
Děkuji. Bez limity to opravdu nedává smysl.

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2013 16:26

Která z řad konverguje/diverguje?

#2 31. 01. 2013 16:50 — Editoval Rumburak (31. 01. 2013 16:55)

Re: Která z řad konverguje/diverguje?

#3 31. 01. 2013 19:00

Re: Která z řad konverguje/diverguje?

#4 31. 01. 2013 20:05

Re: Která z řad konverguje/diverguje?

#5 31. 01. 2013 20:55 — Editoval pavelk (31. 01. 2013 20:58)

Re: Která z řad konverguje/diverguje?

#6 31. 01. 2013 21:04

Re: Která z řad konverguje/diverguje?

#7 31. 01. 2013 21:26

Re: Která z řad konverguje/diverguje?

#8 31. 01. 2013 21:42

Re: Která z řad konverguje/diverguje?

#9 01. 02. 2013 09:14

Re: Která z řad konverguje/diverguje?

#10 01. 02. 2013 13:56

Re: Která z řad konverguje/diverguje?

Zápatí