Matematické Fórum

lecopivo

Zdravim,

ucim se na zkousku z funkcionalky a narazil jsem na par prikladu se kterymi nedokazi pohnout.

1. Jen informativni. Proc se definuje faktor prostor $X \setminus Y$ jen pro $Y$ uzavreny? Zdalo se mi, ze by dukaz toho ze $X \setminus Y$ je normovany linearni prostor prosel i bez predpokladu, ze $Y$ je uzavreny.

////

2. Najdete klesajici posloupnost $\{ B_n \}$ uzavrenych kouli v uplnem metrickem prostoru $X$ tak, ze $\cap_n B_n = \emptyset$ .

----

Tady dokazi najit klesajici posloupnost uzavrenych mnozin. Ale kouli fakt ne. Je jasne, ze ten prostor nemuze byt proper space(ze kazda uzavrena koule je kompaktni), jinak by ten prunik musel byt neprazdny.

////

3. Mejme kompakt $K$ a jeho uzavreno podmnozinu $F \subseteq X$ . Na $F$ mejme definovanou spojitou funkci $f$ . Lze nejak jednoduse dokazat, ze ta $f$ jde nejak spojite dodefinovat na $K$ ? Mam pocit, ze na prednasce se proste reklo, ze to jde diky nejaky husty vete z topologie.

----

Jako nejak intuitivne: Predpokladejme, ze existuje nejake okoli mnoziny $F$ tj. $G = \{x : \text{dist}(x,F) \leq \epsilon \}$ . Ze pro kazdy bod $x$ z $G$ existuje prave jeden bod $y$ z $F$ , pro ktery plati $\text{dist}(x,F) = \text{dist}(x,y)$ . Pak bych novou $f$ dodefinoval na $G \setminus F$ $f(x) = f(y)\frac{\epsilon - \text{dist}(x,y)}{\epsilon}$ . Na $K \setminus G$ dodefinuji nulou. Takova funkce by mela byt spojita. Ale ne vzdy jde naji to okoli $G$ aby platila pozadovana vlastnost. Takze neslo by tento napad nejak vylepsit aby to slo.

////

4. Najdete Banachuv prostor a radu $\sum_{n=0}^\infty x_n$ ktera konverguje pri kazdem prerovnani, ale plati $\sum_{n=0}^\infty ||x_n|| = \infty$

----

Tady fakt nevim

////

5. V Hilbertove prostoru je kodimenze jadra funkcionalu nanejvys jedna. Jak to je v Banachove prostoru?

----

Jedine co v dukaze pouziji je, ze k jadru funkcionalu existuje doplnek, pokud by mel mit dimenzi vetsi jak jedna, tak se snadno dostanu do sporu. V Hilbertove prostoru ten doplnek jde udelat snadno pomoci kolmitka. Ale v Banachove prostoru nevim jestli k jadru funkcionalu existuje doplnek. Ted me napada, ze by mozna sel "zkonstruovat" pomoci Zornova lemmatu.

/////

6. Najdete prostor se skalarnim soucinem a v nem maximalni ortonormalni soustavu, jejiz linearni obal neni husty.

-----

Tedy hledany prosto nemuze byt uplny. Bohuzel nemam zasobu nekonecne dimenzionalnich neuplnych prostoru a zadny me nenapadl.

////

Tak to je vsechno. Budu velice vdecny za odpoved na kteroukoli otazku.

Brano · 01. 02. 2013 01:21

↑ lecopivo:
1) 8.6 Factor spaces - ked definujes normu na faktorpriestore, tak tam mas nejake infimum a teda treba tu uzavretost.

2) Je jasne, ze postupnost stredov nesmie konvergovat a ani postupnost polomerov nesmie klesat k nule, inak by ta postupnost stredov bola Cauchyovska a teda z uplnosti aj konvergentna, ale dalej neviem :-(

3) Ta husta veta z topologie je tato. Mozes skusit kuknut dokaz, ale v podstate to je vylepsenie tvojej myslienky - nieco take zakladnejsie co by bolo specificke pre metricke priestory mi nenapada.

4) Radsej preskocim :-/

5) Tu tvrdia, ze tiez jedna.

6) Preco neuplny? Ja vidim, ze ked uz tak neseparabilny (s tymi vsak nemam moc skusenosti), ale neuplnost nevidim. Skusil by som rozmyslat nad tym, ze to je chytak a neda sa to. Na wiki pisu, ze ON baza je taky ON system, ze vsetky vektory su nekonecne linearne kombinacie a ak sa dobre pamatam, tak tie nekonecne lin. kombinacie by mali mat najviac spocitatelne vela nenulovych clenov, ale to by tam potom tie konecne boli asi huste.

No moc som nepomohol, ale snad sa este niekto prida, ja tiez este porozmyslam.

lecopivo · 01. 02. 2013 01:52

↑ Brano:

Parada, diky!

1) Prosel jsem to a ta uzavrenost je potreba na jedinou vec a to na to aby platilo $||x||_{X\setminus Y} = 0 \Rightarrow x=0$

3) Diky, to je presne ono.

5) Jeste si prectu.

6) Kdyby byl uplny, tak je to Hilbertuv prostor a v Hilbertaci je ON baze a maximalni ON system to same.

Brano · 01. 02. 2013 13:56

Mam priklad na 2), ale nie som uplne nadseny - viac by sa mi pacilo keby bol v $l_2$ .

Nech $X=\mathbb{N}$ a nech $\rho(n,m)=1+\frac{1}{m+n}$ ak $n\not=m$ a $\rho(n,n)=0$ . Lehko overis, ze je to metrika a tiez, ze kazda cauchyovska postupnost musi byt od isteho clena konstantna a teda aj konvergentna - cize mame uplny metricky priestor. Teraz nech
$B_n:=\{k;\rho(n,k)\le 1+\frac{1}{2n}\}=\{n,n+1,n+2,...\}$
a mas postupnost guli aku si chcel.