Matematické Fórum

Leam · 04. 02. 2013 13:15

Pomocí definice derivace najděte derivaci funkce f(x)=x^2+1 v bodě $x_{0}$

Prosím počítám to dobře ?
Dosadím do vzorce a vyjde mi $\frac{x^2-9}{x-3}$ dostanu $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)}$ škrtnu (x-3) a dostanu (x+3) tedy když dosadím (3+3) = 6
Je to správně ? Nebo je to jinak ?

Hanis · 04. 02. 2013 13:29 — Editoval Hanis (04. 02. 2013 13:35)

Ahoj.
Nebylo by na škodu sem připsat, v jakém bodě tu derivaci počítáš a také ten "vzorec" (je několik formulí).

Obecně

$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{(x^2+1)-(x_0^2+1)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=$
$=\lim_{x \to x_0} x+x_0=2x_0$

Což sedí, pokud si to zkontroluješ pomocí "vzorečku pro derivaci x^n"

vlado_bb

↑ Leam:Nie celkom. Ani jeden z výrazov, ktoré uvádzaš, nie je definovaný v bode 3. Ale pre obidva existuje limita v bode 3 a práve táto limita sa nazýva deriváciou. Takže $f'(3)= \lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}= \lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$ . Posledná rovnosť je v poriadku preto, lebo x+3 je spojitá v bode 3 (aj všade inde), a teda limita a hodnota je to isté.

Podľa tvojho výpočtu som usúdil, že si chcela nájsť deriváciu v bode 3. Je to tak?

Leam · 04. 02. 2013 13:46

Ten vzoreček právě přesně nevím, ale uvedu jsem příklad který mám v sešitě...
x^2, $x_{0}$ = 2
A počítá se to tu takhle,....
$\lim_{x\to2}\frac{x^2-x_{0}na2}{x-x_{0}}$

$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$

$\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)}$

škrtnu (x-2)

Zůstane tam x+2 = 2+2 = 4

Já nevím jestli to pomohlo, ale mě ne, takže pořád nevím jak to řešit...
Jestli to má být $\lim_{x\to3}\frac{x^2+1-3^2}{x+1-3}$
nebo ta jednička tam vůbec není..