Matematické Fórum

kanjoe · 05. 02. 2013 15:47

Zdravím pomôžete mi s týmto príkladom prosím? $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}{x^{2}}$

Brano · 05. 02. 2013 15:55

Jednoduchy postup je cez Taylorov rozvoj, ale kvoli vseobecnej nevoli voci nemu ti najpr poradim stredoskolsky pristup.
Vyuzi vzorec $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ T.j. vynasob citatela aj menovatela vyrazom $\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}\right)^2+\sqrt[3]{1+x^{2}}+1$ .

kanjoe · 05. 02. 2013 16:58

↑ Brano: dakujem pomohli ste mi ;)

Rumburak

↑ kanjoe:

Zdravím . Další efektivní způsob:

Substitucí $x^2 = h$ dostáváme

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}{x^{2}} = \lim_{h\to0+}\frac{\sqrt[3]{1+h}-1}{h} = \lim_{h\to0+}\frac{\sqrt[3]{1+h}-\sqrt[3]{1}}{h}$ ,

což je derivace zprava funkce $x^{\frac{1}{3}}$ v bodě $x = 1$ (viz definice derivace).

kanjoe · 05. 02. 2013 17:27

↑ Rumburak: dakujem ale uzivatel brano mi pomohol
vedeli by ste mi pomoct aj s tymto problemom? $\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

Hanis · 05. 02. 2013 17:36

Ahoj,
stejná úprava, ale je třeba ji provést dvakrát - jednou rozšířit přes čitatele, jednou přes jmenovatele a pak podělit kořenovým činitelem (x-1).

kanjoe · 05. 02. 2013 18:22

↑ Hanis: ahoj, ktoru upravu ako predtym myslite? upravu cez vzorec $a^{3}-b^{3}$ ? alebo substituciu? aj tak mi to nejako nevychádza

Hanis · 05. 02. 2013 18:28

Jsou tam DRUHÉ odmocniny, kterých se chceš zbavit, tak musíš využít příslušný vztah (A^2-B^2=...)

Kittie · 05. 02. 2013 18:29

↑ kanjoe:Mysleli $a^2-b^2$

kanjoe · 05. 02. 2013 18:58

$\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ x $\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x^{2}+\sqrt{x}}$ = $\frac{x^{4}-x}{(\sqrt{x}-1)\cdot (x^{2}+\sqrt{x})}$
ked to roznasobim tak sa mi odmocniny nestratia... kde prosim vas robim chybu?

Kittie · 05. 02. 2013 19:04

↑ kanjoe: Zatím je to jen nedodělané, použij totéž i na původní jmenovatel.

kanjoe · 05. 02. 2013 19:18

uz to mám dakujem vam pekne :))))

kanjoe · 05. 02. 2013 19:19

vyslo mi ze limita je rovna 3

kanjoe · 05. 02. 2013 19:50

a ao prosim vas vyriesim takuto limitu: $\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x+\sin 7x}{\sin 3x}$ ?

Hanis · 05. 02. 2013 19:54

Založ si nové téma, 3 bylo správný výsledek.

Kittie · 05. 02. 2013 19:55

↑ kanjoe:Záleží na tom, jestli znáš "známou limitu" $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$
Další možnost je L'Hospital

anes · 05. 02. 2013 20:42

↑ Kittie:
... nebo, pokud nic nevíš a l'Hospitalovat nesmíš, to rozbiješ součtovými vzorci na něco, kde se bude vyskytovat pouze $\sin x$ a cosiny (které ti nevadí, protože mají v nule limitu 1). Pak pokrátíš co nejvíc sinů a uvidíš.

$\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x+\sin 7x}{\sin 3x} &=\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x+\sin 3x \cos 4x + \sin 4x \cos 3x}{\sin 3x} \\ &= 1+ \lim_{x\to0}\frac{\sin 4x (1+ \cos 3x)}{\sin 3x} \\ &= 1+ \lim_{x\to0}\frac{4\sin x \cos x \cos 2x (1+ \cos 3x)}{\sin 3x} \\ &= 1+ \lim_{x\to0}\frac{4\sin x \cos x \cos 2x (1+ \cos 3x)}{\sin x\cos 2x + 2\sin x \cos x \cos x}$ .
Všechny ty cosiny samozřejmě můžeš zahazovat už ve chvíli, kdy se objeví (já je tam nechával jen pro přehlednost a protože ctrl+c ctrl+v je snadné), takže to ani není nijak složitá úprava.

Hanis · 05. 02. 2013 21:06

Mohli byste tolerovat moderátorské upozornění pro dodržování pravidel :-)

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2013 15:47

limitaa

#2 05. 02. 2013 15:55

Re: limitaa

#3 05. 02. 2013 16:58

Re: limitaa

#4 05. 02. 2013 17:04 — Editoval Rumburak (05. 02. 2013 17:05)

Re: limitaa

#5 05. 02. 2013 17:27

Re: limitaa

#6 05. 02. 2013 17:36

Re: limitaa

#7 05. 02. 2013 18:22

Re: limitaa

#8 05. 02. 2013 18:28

Re: limitaa

#9 05. 02. 2013 18:29

Re: limitaa

#10 05. 02. 2013 18:58

Re: limitaa

#11 05. 02. 2013 19:04

Re: limitaa

#12 05. 02. 2013 19:18

Re: limitaa

#13 05. 02. 2013 19:19

Re: limitaa

#14 05. 02. 2013 19:50

Re: limitaa

#15 05. 02. 2013 19:54

Re: limitaa

#16 05. 02. 2013 19:55

Re: limitaa

#17 05. 02. 2013 20:42

Re: limitaa

#18 05. 02. 2013 21:06

Re: limitaa

Zápatí