Matematické Fórum

Ahoj. Máš patrně na mysli tzv. kvocientní grupy. Ukážeme si to na příkladu, jak navrhuješ.

Představ si

- grupu   , tj. reálná čísla s operací sčítání ,
- její podgrupu    , tj. celá čísla s operací sčítání. 

Na množině  zavedeme relaci   předpisem . Není těžké dokázat,  že jde
o ekvivalenci, kerá je navíc stabilní vůči operacím v grupě ,  tj. splňuje (pro libovolná )

          ,    .


Symbolem označme rozklad množiny podle této ekvivalence (předpokládám, že tento krok Ti je jasný).
Je-li , označme tu rozkladovou třídu, která obsahuje . Taková existuje právě jedna,
prvek se nazývá representantem třídy ,  dalšími jejími representanty jsou právě všechna .

Formulí  je definována jistá operace na množině (je třeba dokázat korektnost ,
tj.  že výsledek této operace s třídami není závislý na volbě jejich representantů).

Potom se už celkem snadno dá dokázat, že je grupa (nutno ověřit, že jsou splněny axiomy grupy ,
jednotkovým prvkem je zde ,  inversním prvkem k   je ).
Tato grupa se jinak značí  symbolem  a nazývá se kvocientní grupou grupy podle její podgrupy .

Stačí ?

Ahoj, u obecných grup je důležitá ta normálnost podgrupy - která je pro abelovu grupu vždy splněna.