Matematické Fórum

drabi · 10. 02. 2013 02:12

Ahoj, potřebovala bych pomoct s tímto příkladem:

$\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}x}{1 + \cos^2(x)}$

počítám to jako integrál typu $\int_0^{2\pi} R(\cos(x),\sin(x))$ , R racionální funkce

$\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}x}{1 + \cos^2(x)} =\frac{1}{i} \int_0^{2\pi} \frac{i e^{it}\mathrm{d}x}{e^{it}(1 + \cos^2(x))} = \frac{1}{i} \int_\varphi \frac{\mathrm{d}z}{z ( 1 + \frac14 (1 + \frac{1}{z} )^2 )} = \frac{4}{i} \int_\varphi \frac{z \mathrm{d}z}{1+6 z^2+z^4}$

A tady se poněkud začínám ztrácet. Za prvé mi dělá problém zjistit kořeny rovnice. Zjistila jsem je pomocí wolframu, ale nevím jak na to bez něj.

Druhá věc je, že mi residua vyšly $\pm \frac{1}{8\sqrt{2}}$ a tedy integrál nulový.
Ale opět wolfram říká, že tomu tak není.

Pomohl by mi někdo prosím?

user · 10. 02. 2013 02:37

Ahoj,
s integrálem bohužel neporadím, ale rovnice jde řešit substitucí $x=z^2$ .

drabi · 10. 02. 2013 02:39

↑ user:
ano to jde, ale nějak neumím dát dohromady odmocninu z $-1 \pm 2i$

user · 10. 02. 2013 02:49

Mě vyšlo $z^2=\pm \sqrt{-3\pm2\sqrt{2}}$ .

drabi · 10. 02. 2013 02:52

↑ user:
jo máš pravdu, přehlídla jsem se v zápiscích...
teda má to být
$z=\pm \sqrt{-3\pm2\sqrt{2}}$

zkusím to ráno dopočítat s tímto tvarem a pak se ozvu, zda to nějak slušně vychází..
Každopádně díky

Jenda358

↑ drabi:
Ahoj,
mně se tento integrál podařilo vyřešit bez komplexních čísel. Nejdřív jsem vypočítal neurčitý integrál s použitím substituce $t=\text{tan}(x)$ . Podstatné je, že vzhledem k def. oboru funkce tangens platí výsledek neurčitého integrálu jen na intervalech $(-\frac{\pi }{2}+k\pi ; \frac{\pi }{2}+k\pi); k\in \mathbb{Z}$ . Proto pak nestačí pouze dosadit horní mez a dolní mez a odečíst výsledky. Je to potřeba trochu "rozkouskovat" v lichých násobcích $\frac{\pi }{2}$ . Snad jsem to napsal srozumitelně.

drabi · 10. 02. 2013 11:43

↑ Jenda358:
děkuju moc, leč je to na zkoušku z komplexní analýzy a tam se předpokládá, že to budu řešit daným způsobem.

drabi · 10. 02. 2013 12:01

Tak se omlouvám, nejspíš včera v noci mi to už nemyslelo.
Spočítala jsem to pomocí reziduové věty a vychází to dobře.
Každopádně děkuju za ochotu spolupracovat:)

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2013 02:12

integrál - komplexní analýza

#2 10. 02. 2013 02:37

Re: integrál - komplexní analýza

#3 10. 02. 2013 02:39

Re: integrál - komplexní analýza

#4 10. 02. 2013 02:49

Re: integrál - komplexní analýza

#5 10. 02. 2013 02:52

Re: integrál - komplexní analýza

#6 10. 02. 2013 10:14 — Editoval Jenda358 (10. 02. 2013 10:15)

Re: integrál - komplexní analýza

#7 10. 02. 2013 11:43

Re: integrál - komplexní analýza

#8 10. 02. 2013 12:01

Re: integrál - komplexní analýza

Zápatí