Matematické Fórum

macher1

dobrý deň

našiel som príklad na neurčitý integrál ktorý som chcel prepočítať. takto to bolo počítané v skriptách:
$\int_{}^{}\frac{cos^{3}x}{1+4sin^2{x}}dx$
vo výpočte nasledovala substitúcia sin x = t, cos x dx = dt, potom výpočet pokračoval takto:
*
$\int_{}^{}\frac{1-t^{2}}{1+4t^{2}}dt$
**
$=\frac{1}{4}\int_{}^{}(-1+\frac{5}{1+4t^{2}})dt$
***
$=\frac{1}{4}\int_{}^{}(-t+\frac{5}{2}arctg2t)+c$
$=\frac{1}{4}(-\sin x+\frac{5}{2}arctg(2\sin x))+c$
wolfram dáva rovnaký výsledok. nerozumiem ale niektorým veciam:
* - v čitateli zlomku je 1-t^2 namiesto pôvodného cos^3(x). prečo?? 1-t^2 = 1-sin^2(x) a 1-sin^2(x) je cos^2(x), nie cos^3(x).
** - odkiaľ je tá 1/4 pred integrálom a čo tá -1 v zátvorke? odkiaľ sa tam vzala?
*** - prečo 5/2 pred arctg2t ?
môžete mi niekto vysvetliť tento postup? ďakujem

Wellcosh

*
$\cos^3 x= \cos x \cos^2 x = \cos x (1-\sin^2 x)$
Ta závorka přejde na žádoucí 1-t^2, kosinus "zmizí" při substituci (protože dt = cos x dx).

** To vzniklo standardním rozkladem na parciální zlomky. Pokud nevíš o co jde, tak určitě googli, je to naprosto fundamentální úprava při integrování.

*** (zřejmě tu už nemá být integrál)
$\int {5 \over 1+4t^2} = 5 \int {1 \over 1+ (2t)^2} = 5 {\mbox{arctg }{2t} \over 2}$

Hanis · 12. 02. 2013 18:58

Ahoj,
1.) cos(x)dx=dt (I. věta o šupstituci)
2.) Té operaci se říká rozklad na parciální zlomky. Poté vytknuta 1/4
3.) Substituce 2t=u a vytknutí před zlomek.

macher1 · 12. 02. 2013 19:16

Ahaaaa jasné, už rozumiem :) Obom vám ďakujem :)

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2013 18:50 — Editoval macher1 (12. 02. 2013 18:52)

neurčitý integrál goniometrických fcií - vysvetlenie postupu

#2 12. 02. 2013 18:57 — Editoval Wellcosh (12. 02. 2013 18:58)

Re: neurčitý integrál goniometrických fcií - vysvetlenie postupu

#3 12. 02. 2013 18:58

Re: neurčitý integrál goniometrických fcií - vysvetlenie postupu

#4 12. 02. 2013 19:16

Re: neurčitý integrál goniometrických fcií - vysvetlenie postupu

Zápatí