Matematické Fórum

SoniCorr

Zdravím, mám limitu i $\lim_{x\to0}\frac{cos(sinx)-cosx}{x^4}$ . Dalo by resit jinak, nez tak, ze bych 4x zderivoval?

Bati · 18. 02. 2013 21:01 — Editoval Bati (18. 02. 2013 21:02)

Jdou ještě dobře použít Taylorovy rozvoje sinu a cosinu. Můžeš si celkem snadno odvodit, že
$\cos(\sin{x})=1-\frac12x^2+\frac5{24}x^4+o(x^4)$ .
Tím je ale ten příklad v podstatě vyřešen a také je z toho vidět, že nijak elementárněji to asi nepůjde, protože bylo třeba užít aproximace polynomem čtvrtého stupně (což odpovídá 4 násobnému derivování v l'Hospitalově pravidle) a žádné známé limity tak přesné aproximace neuvažují.

Brano · 18. 02. 2013 21:02

Dalo, ale je to mozno este skaredsie
$\frac{\cos(\sin x)-\cos x}{x^4}=2\frac{\sin\left(\frac{x-\sin(x)}{2}\right)\sin\left(\frac{x+\sin(x)}{2}\right)}{x^4}=2\frac{\sin\left(\frac{x-\sin(x)}{2}\right)}{x^3}\cdot\frac{\sin\left(\frac{x+\sin(x)}{2}\right)}{x}$
posledny clen konverguje k 1 - to je len vzorec $\frac{\sin x}{x}\to 1$ , teda pokracujme
$2\frac{\sin\left(\frac{x-\sin(x)}{2}\right)}{x^3}\sim \frac{x-\sin(x)}{x^3}$
a to uz dotuknes z Taylora, ze je to $1/6$ .

Bati · 18. 02. 2013 21:09

Ano, ↑ Brano: použil Taylora jen 3. stupně za cenu ošklivého postupu a použití známé limity. Jak je matematika krásná:-)

Brano · 19. 02. 2013 12:37

↑ Bati:
ale vyhol som sa skladaniu Taylorovych radov :-)

pre svoje potreby by som vsak urcite pouzil postup aky si uviedol, len sa mi zda, ze nejaka vacsia manipulacia s Taylorovimi radmi nie je v oblube u studentov, tak som napisal co som napisal ...

Rumburak · 19. 02. 2013 17:00

↑ SoniCorr:

Nebo:

$\frac{\cos(\sin x)-\cos x}{x^4} =\frac{2\sin \frac{x +\sin x}{2}\,\sin\frac{x-\sin x}{2} }{x^4}= 2\cdot \frac{\sin \frac{x +\sin x}{2}}{\frac{x +\sin x}{2}}\cdot \frac{\sin \frac{x -\sin x}{2}}{\frac{x -\sin x}{2}}\cdot \frac{\frac{x +\sin x}{2}\cdot\frac{x -\sin x}{2}}{x^4}$ ,

$\frac{\frac{x +\sin x}{2}\cdot\frac{x -\sin x}{2}}{x^4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{x+\sin x}{x}\cdot\frac{x-\sin x}{x^3}$ ,

takže pomocí známého vztahu $\lim_{x \to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ máme

$\lim_{x \to 0}\frac{\cos(\sin x)-\cos x}{x^4}= 2\cdot \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x +\sin x}{2}\,\frac{x -\sin x}{2}}{x^4}= \frac{1}{2}\cdot \lim_{x \to 0} \frac{x+\sin x}{x} \cdot \frac{x-\sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$ ,

nyní už je použití Taylorova rozvoje i l'Hospitalova pravidla celkem jednoduchou záležitostí.

Brano · 19. 02. 2013 17:06

↑ Rumburak:
a ved to je presne to co som napisal, len som preskakal niektore kroky

Rumburak · 19. 02. 2013 17:16

↑ Brano:

Souhlasím.
Pouze mi připadalo, že rozvést tu cestu k limitě $\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$ do větších podrobností nebude na škodu.

Brano · 19. 02. 2013 17:22

↑ Rumburak:
to je pravda

Matematické Fórum

#1 18. 02. 2013 20:34 — Editoval SoniCorr (18. 02. 2013 20:35)

Limita funkce L´hospitalem

#2 18. 02. 2013 21:01 — Editoval Bati (18. 02. 2013 21:02)

Re: Limita funkce L´hospitalem

#3 18. 02. 2013 21:02

Re: Limita funkce L´hospitalem

#4 18. 02. 2013 21:09

Re: Limita funkce L´hospitalem

#5 19. 02. 2013 12:37

Re: Limita funkce L´hospitalem

#6 19. 02. 2013 17:00

Re: Limita funkce L´hospitalem

#7 19. 02. 2013 17:06

Re: Limita funkce L´hospitalem

#8 19. 02. 2013 17:16

Re: Limita funkce L´hospitalem

#9 19. 02. 2013 17:22

Re: Limita funkce L´hospitalem

Zápatí