Matematické Fórum

halogan · 04. 01. 2009 00:27

Dobrý den,

mocniny dvojky byly vždycky mé oblíbené a když jsem teď o Vánocích ležel v posteli nemocen, nějak mě štvalo násobení, když jsem šel od 2^13 k 2^19 z hlavy, protože se mi tam ta čísla všude míchala.

Přemýšlel jsem tak nad zjednodušení, když jen tak chcete vědět, kolik je 2^19 a nemáte po ruce kalkulačku, tužku, ani papír - a navíc bez násobení (částečně). Vycházel jsem z toho, že je jednoduché dostat se k 2^13, protože se ještě nesčítají stovky (2^0 -> 2^10 beru jako zažitou věc).

Celé to vzešlo z toho, že se mi líbilo číslo 2048. To máme 2^0 tisícovek a pak součet 2^5 a 2^4. To samé máme u 1024, 4096 apod.

Vzešel mi z toho tedy jednoduchý vzorec $2^n = 2^{n - 10}\cdot 10^3 + 2^{n - 7} + 2^{n - 6}$ , případně tedy $2^n = 2^{n - 10}\cdot 10^3 + 3\cdot 2^{n - 7}$ .

Příklad:
$2^{19} = 2^9 \cdot 1000 + 2^{12} + 2^{13} = 512 000 + 4096 + 8192$

Což z hlavy není zas tak složité.

Důkaz je jednoduchý, přímým důkazem jsme u 2^n ihned.

---

Chápu, že to nemá žádný matematický význam, ale pokud vás někdy štvalo, kolik je ta vysoká mocnina, nebo jste alespoň přibližně chtěli vědět (stačí tedy $2^{n - 10}\cdot 10^3$ , což je přibližné pro neveliká $n$ ) přibližně hodnotu, může se vám to hodit.

Pokud zapomenete vzorec, přes 1024 ho máte odvozený raz dva.

(trochu neprakticky to funguje i pro n < 10)
(na papíře se bude asi více hodit násobení, např. $2^{19} = 2^9\cdot 2^{10}$ ; $2^{16} = (2^8)^2$ ; ...)

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2009 00:27

Mocniny dvojky z hlavy

Zápatí