Matematické Fórum

p.dee · 25. 02. 2013 22:26

Nevíte prosím někdy, pro jakou funkci platí, že má Kurzweilův integrál ale nemá Lebesgueův integrál. A dále kdy existuje Kurzweilův integrál a neexistuje Newtonův integrál a proč? děkuji moc za odpovědi.

Brano · 25. 02. 2013 23:00 — Editoval Brano (25. 02. 2013 23:05)

Na wiki mas aj priklad. Newtonov integral nepoznam. Definiciu na wiki som si pozrel, ale neviem kde vsade ma byt ta primitivna funkcia definovana, ale mozno by mohol prejst ten isty priklad - pozri tu v nule je ocividne nespojitost.

martisek · 25. 02. 2013 23:35

↑ Brano:

Newtonův integrál určitě znáte, jenom možná nevíte, že se tak jmenuje :-) To je takový ten, kde
$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$

Brano · 26. 02. 2013 01:03 — Editoval Brano (26. 02. 2013 01:36)

↑ martisek:
Toto poznam. To je Newton-Leibnitzova formula. A zrejme z toho vychadza aj definicia Newtonovskej integrovatelnosti, ktora je nieco ako
" $f$ je Newtonovsky integrovatelna prave vtedy ked existuje $F$ diferencovatelna taka, ze $F'=f$ " problem je, ze takto to nestaci, este treba specifikovat co s definicnymi obormi a to neviem ako sa zvykne robit. Ten priklad co spominaju v odkaze co som dal vyzera, ze ma primitivnu funkciu
$F(x)=\frac{\pi\,\text{sgn}\, x}{6}-\frac{1}{3}\text{Si}\left(\frac{1}{x^3}\right);\quad F(0)=0$

↑ p.dee:
Oplati sa pozriet este aj na priklady uvedene tu, ci z nich nieco nebude.

martisek · 26. 02. 2013 12:18

↑ p.dee:

Newtonovým integrálem lze integrovat pouze funkce f(x), které jsou na <a;b> spojité a existuje k nim primitivní finkce F(x). Pak Newtonova - Leibnitzova formule

$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$

definuje Newtonův integrál.

Riemannův integrál je obecnější a je definován jako společná limita dolních a horních součtů. Riemannovsky integrovatelná funkce, pro kterou neexistuje Newtonův integrál, je na intervalu <1; 3> např. funkce

$f(x)=\matrix x for x \in <1;2) \\ x^2 for x \in <2;3>$

Lebesgueův integrál je ještě obecnější a velmi laicky lze říci, že "měří" ne přes x, ale přes funkční hodnoty. Např tzv. Dirichletova funkce

$f(x)=\matrix 1 for x \in \mathbb Q \\ 0 for x \not \in \mathbb Q$

není integrovatelná riemannovsky, ale lebesgueovsky ano.

Kurzweilův integrál je ještě poněkud obecnější. Nevím úplně přesně, jak je definován, vím jen, že se tam nějak rafinovaně přeskakují singularity, takže je obecnější než Lebesgueův. Lebesgueovsky neintegerovatelná je třeba

$f(x) =\frac 1 x \sin \frac 1 {x^3}$

a Kurzweilovsky prý ano (nevím, jak říkám, K-inegrál přesně neznám).

Brano · 26. 02. 2013 14:35 — Editoval Brano (26. 02. 2013 14:36)

↑ martisek:
Ten posledny priklad je presne ten na ktory som daval link. Len som sa este zamyslal nad tym ci by mohol sluzit aj ako priklad na funkciu co je integrovadelna v zmysle Kurzweil-Henstock ale nie Newtonovsky. A tu je problem s presnou definiciou, ktoru si musi skontrolovat ↑ p.dee: - pripadne by sa k tomu mohol aj nejak vyjadrit.

Ty uvazdas, ze Newtonowsky integrovatelna je spojita a taka, ze ma primitivnu (tak je to aj na ceskej wiki), ale ja to poznam tak, ze staci aby mala primitivnu (teda nie nutne spojita) - ale opakujem presnu definiciu neviem. Priklady na nespojitu co ma primitivnu funkciu sa daju najst na wiki - odkaz som dal v druhom mojom prispevku.

vanok · 26. 02. 2013 14:40

poznamka:
tu je zaujimavy otvoreny list
http://www.math.vanderbilt.edu/~schecte … ge/letter/
ktory je za pouzivanie Kurzweil-Henstock integralu

Vsimnite si, ze jeho definicia, sa velmi podoba na definiciu Riemann integralu.

Rozdiel je len v pouziti pojmu gauge (en), jauge(fr).(slovensky alebo cesky vyraz na to nepoznam)

Ja tiez verim, ze jeho vyucuvanie sa cim skor rozsiri.

Brano · 26. 02. 2013 17:17

↑ auditor:
To by nebolo velmi stasne, lebo v kontexte integralov je termin "miera" zauzivany v uplne inom vyzname.

Rumburak

↑ Brano:, ↑ martisek:

Ahoj. Definici Newtonova integrálu znám takto:

Nechť

(1) funkce $f$ má na intervalu $(a, b)$ , kde $a, b \in \mathbb{R}^* , a < b$ , primitivní funkci $F$ ,

(2) existují konečné limity $F(a_+) := \lim_{x\to a_+}F(x)$ , $F(b_-) := \lim_{x\to b_-}F(x)$

(v případě, kdy např. $b = +\infty$ , bude $F(b_-) := \lim_{x\to +\infty}F(x)$ , analogicky když $a = -\infty$ ) .

Potom

$(N)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x := F(b_-) - F(a_+)$ .

(Plus konvence $(N)\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x := -(N)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ , $(N)\int_c^c := 0$ . )

vanok · 26. 02. 2013 17:31 — Editoval vanok (26. 02. 2013 17:42)

Slovo "une jauge" po francuzky znamena aj tycka ktorou sa v aute meria vyska (hlbka) oleja.
Ale v Cz, co Sk iste je na to uz urcene slovo.... Vsak jeden z objavitelov bol CECH.

martisek · 26. 02. 2013 17:53

↑ Brano:

--------
Newtonowsky integrovatelna je spojita a taka, ze ma primitivnu, ale ja to poznam tak, ze staci aby mala primitivnu (teda nie nutne spojita)
--------

Jenže k tomu, aby funkce měla na (a;b) primitivní funkci, musí tam být nutně spojitá.

Brano · 27. 02. 2013 00:30 — Editoval Brano (27. 02. 2013 00:38)

↑ martisek:
no to urcite nie priklady su uvedene aj v tom odkaze co som daval
http://en.wikipedia.org/wiki/Antideriva … e_examples
a aj konretne ten priklad co sa tu sklonoval.
$f(x)=\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right);\quad f(0)=0$
je nespojita v $x=0$ ale ma primitivnu funkciu
$F(x)=\frac{\pi\,\text{sgn}\, x}{6}-\frac{1}{3}\text{Si}\left(\frac{1}{x^3}\right);\quad F(0)=0$

kexixex

↑ martisek:
nebo klasicky priklad sgn(x) (primitivni je x.sgnx) pres $\mathbb{R}$ , taky existuje Newtonuv, ale Riemannuv ani Lebesgueuv ne..

Proto bych ani nerekl, ze Riemannuv integral je obecnejsi nez Newtonuv (rozhodne neni 'silnejsi', tj neplati toto: f ma N-integral => f ma R-integral;viz priklad se sgn(x)).

Brano · 27. 02. 2013 22:09 — Editoval Brano (27. 02. 2013 22:12)

↑ kexixex:
Podla ↑ Rumburak: to vsak nie je ani N-integrovatelne, lebo limity v krajnych bodoch su nekonecne.; ale s tym vsoebecnym tvrdenim suhlasim :-) neplati "N-integrovatelna=>R-integrovatelna"

kexixex · 28. 02. 2013 00:27

↑ Brano:
mas pravdu, samozrejeme..

Rumburak

↑ kexixex:

Ahoj.

1)

nebo klasicky priklad sgn(x) (primitivni je x.sgnx) pres $\mathbb{R}$

Toto je častý omyl.

Platí totiž $x\, \mathrm{sgn}\, (x) = |x|$ , což je funkce, která v bodě $x = 0$ derivaci nemá.
Takkže na žádném otevřeném intervalu obsahujícím nulu nemůže být tato funkce primitivní fukcí (k žádné funkci).

Fukce $f$ , která je na integvalu $(a, b)$ derivací některé funkce $F$ , má na tomto intervalu tzv. Darbouxovu vlastost (tj. libovolný
(neprázdný) podinterval uvedeného intervalu se zobrazuje na interval nebo na bod), zatímco funkce signum má tuto vlastnost pouze
na intervalech, kreré neobsahují nulu. Myslím, že o této nutné podmínce pro existenci primitivní funkce tu v některém příspěvku již
padla zmínka.

2)

Proto bych ani nerekl, ze Riemannuv integral je obecnejsi nez Newtonuv

Zde máš pravdu, jak už Ti potvrdil ↑ Brano:. Je to zřejmé i z toho, že Riemannův intetegrál je absolutně konvergentní,
zatímco Newtonův nikoliv.

lecopivo · 28. 02. 2013 10:07

Mam pocit, ze $\frac{1}{x}\sin(x)$ na $(1,\infty)$ je Kurzweilovsky integrovatelna ale neni Lebesgueovsky.

A to proteze je Newtonovsky integrovatelna. Lebesgueovsky neni protoze neni absolutne konvergentni.

A treba charakteristicka fce recionalnich cisel na $(0,1)$ neni integrovatelna jak Newtonovsky ani Riemanovsky ale ma Kurzweiluv integral.

Rumburak

↑ martisek:

Zdravím.

... které jsou na <a;b> spojité a existuje k nim primitivní finkce F(x).

Dovolím si drobnou poznámku":
Každá funkce spojitá na intervalu má na něm primitivní funkci, takže druhá část předpokladu by vedle té první už byla zbytečná.
Ale je možné, že jsem tu formulaci pochopil jinak, než jak byla míněna.

Rumburak

↑ lecopivo:

Ahoj. Jen poznámka:

charakteristicka fce recionalnich cisel na $(0,1)$ (zvaná též Dirichletova funkce) má i Lebesgueúv integrál.

jarrro · 28. 02. 2013 11:52

podľa mňa je aj dôležité na akých množinách sa berie integrovateľnosť a či sa obmedzíme len na ohraničené funkcie alebo nie napríklad Lebesguov integrál je rozšírením Riemannovho len v prípade ohraničených funkcií na ohraničenom intervale myslím, že na neohraničených intervaloch sú Riemann a Lebesgue dokonca nezávislé teda ani jeden nie je rozšírením druhého

Brano · 28. 02. 2013 13:17 — Editoval Brano (28. 02. 2013 13:24)

↑ jarrro:
Na ohranicenych funkciach, na [a,b] plati:
Lebesgueovsky meratelna <=> Lebesgueovsky integrovatelna <=> Krzweilovsky integrovatelna
http://en.wikipedia.org/wiki/Henstock%E … l_integral

ohranicenost je prilis restriktivna - uz sa tam potom tazko hladaju patologicke funkcie :-)

lecopivo

A existuje funkce $f$ ktera je Kuzweilovsky integrovatelne na $(a,b)$ a neexistuje limita $\lim_{c\rightarrow a_+, d\rightarrow b_-} (L)\int_c^d f(x) dx$ ? (tim (L) myslim ze se jedna o Lebesguv integral) (plus a,b muzou byt plus minus nekonecna)

Protoze, pokud takova funkce neexistuje, pak by me zajimalo k cemu je vubec dobre ten Kurzweiluv integral definovat.

Brano · 28. 02. 2013 16:05 — Editoval Brano (01. 03. 2013 11:24)

ano existuje
$f(x)=\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right);\quad f(0)=0$
na $(-1,1)$
ale existuje L-integral na $(-1,1)\setminus (-\epsilon_1,\epsilon_2)$ a da sa zalimitit. Takze sa da (velmi zhruba) povedat, ze clovek si moze davat trosku mensi pozor okolo polov.

ale myslim si, ze skor sa ho snazia presadit jeho milovnici kvoli tomu, ze ma pomerne jednoduchu definiciu (velmi podobnu Riemanovmu, ktory je z historickeho hladiska asi najvyznamnejsi) a je "porovnatelne" silny ako Lebesgueov.

PS: myslite si, ze sme uz nadobro odradili ↑ p.dee:?

PPS: podarilo sa teda uz najst priklad $f$ ktora je K-H-integrovatelna a nie je N-integrovatelna?
edit: vlastne ano, je to v prispevku ↑ Rumburak:

Rumburak

↑ lecopivo:

Teorii Kurzweilova integrálu neumím - zkusím odpovědět na obecnější otázku: proč zavádět tolik teorií itregrálu ?

Důvodem je rozmanitost třídy funkcí, pročež neexituje teorie integrálu, která by byla použitelná na všechny možné případy.
Všechny z teoríí integrálu jsou použitelné na nejjednodušší případ, kdy se integruje spojitá funkce na uzavženém integralu,
a ve svých výsledcích se shodují. Liší se však směrem, kterým výše popsanou "elementární" úlohu zobecňují, a tedy nutně i
"konstrukcí" (tj. definicí) integrálu. O tuto konstrukci se pak opírají mnohé důkazy vět i z jiných oblastí matematické anylýzy,
pokud v nich integrál hraje roli, a podle zvolené konstrukce integrálu může být důkaz takové věty buďto jednodušší nebo
složitější, případně i neproveditelný. Stává se, že konstrukci použitého integrálu musí být přizpůsobeny v některých jemnostech
též předpoklady dokazovaných vět (ve větě obsahující předpoklad či tvrzení o integrálu z nějaké netriviální či obecné funkce
by mělo být uvedeno, podle které definice je míněn).

martisek

↑ Brano: ↑ Rumburak: ↑ lecopivo:

Vidím, že se tady rozproudila docela živá a zajímavá diskuse. Poznámka k Newtonovu integerálu: záleží opravdu na tom, jak se definuje. Já znám definici tak, že je požadována spojitost integrované funkce a potvrzuje to třeba i (nerad odkazuji na internet, ale nebudu v této diskusi první:-)

http://cs.wikipedia.org/wiki/Newton%C5% … egr%C3%A1l

Pokud bychom požadovali jen existenci primitivní funkce, pak by by takto byly integrovatelné i některé funkce nespojité a dokonce i funkce, které nelze integrovat riemannovsky.

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2013 22:26

Kurzweilův integrál

#2 25. 02. 2013 23:00 — Editoval Brano (25. 02. 2013 23:05)

Re: Kurzweilův integrál

#3 25. 02. 2013 23:35

Re: Kurzweilův integrál

#4 26. 02. 2013 01:03 — Editoval Brano (26. 02. 2013 01:36)

Re: Kurzweilův integrál

#5 26. 02. 2013 12:18

Re: Kurzweilův integrál

#6 26. 02. 2013 14:35 — Editoval Brano (26. 02. 2013 14:36)

Re: Kurzweilův integrál

#7 26. 02. 2013 14:40

Re: Kurzweilův integrál

#8 26. 02. 2013 17:17

Re: Kurzweilův integrál

#9 26. 02. 2013 17:17 — Editoval Rumburak (26. 02. 2013 17:23)

Re: Kurzweilův integrál

#10 26. 02. 2013 17:31 — Editoval vanok (26. 02. 2013 17:42)

Re: Kurzweilův integrál

#11 26. 02. 2013 17:53

Re: Kurzweilův integrál

#12 27. 02. 2013 00:30 — Editoval Brano (27. 02. 2013 00:38)

Re: Kurzweilův integrál

#13 27. 02. 2013 21:48 — Editoval kexixex (27. 02. 2013 21:53)

Re: Kurzweilův integrál

#14 27. 02. 2013 22:09 — Editoval Brano (27. 02. 2013 22:12)

Re: Kurzweilův integrál

#15 28. 02. 2013 00:27

Re: Kurzweilův integrál

#16 28. 02. 2013 10:06 — Editoval Rumburak (01. 03. 2013 10:23)

Re: Kurzweilův integrál

#17 28. 02. 2013 10:07

Re: Kurzweilův integrál

#18 28. 02. 2013 10:15 — Editoval Rumburak (28. 02. 2013 10:35)

Re: Kurzweilův integrál

#19 28. 02. 2013 10:19 — Editoval Rumburak (28. 02. 2013 10:32)

Re: Kurzweilův integrál

#20 28. 02. 2013 11:52

Re: Kurzweilův integrál

#21 28. 02. 2013 13:17 — Editoval Brano (28. 02. 2013 13:24)

Re: Kurzweilův integrál

#22 28. 02. 2013 15:47 — Editoval lecopivo (28. 02. 2013 15:48)

Re: Kurzweilův integrál

#23 28. 02. 2013 16:05 — Editoval Brano (01. 03. 2013 11:24)

Re: Kurzweilův integrál

#24 28. 02. 2013 16:54 — Editoval Rumburak (28. 02. 2013 17:07)

Re: Kurzweilův integrál

#25 01. 03. 2013 09:47 — Editoval martisek (01. 03. 2013 09:48)

Re: Kurzweilův integrál

Zápatí