Matematické Fórum

Ismael · 26. 02. 2013 18:25 — Editoval Ismael (26. 02. 2013 18:26)

Zdravím,
zajímalo by mě zda platí ptvrzení, že pokud funkce nepatří do L2 prostoru ve smyslu, že $\int_{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}dx = \infty$ znamená to že diverguje i $\int_{-\infty }^{\infty }|f(x)| = \infty$ . Ptám se z důvodu, že jsem narazil na tvrzení, které říká, že pro, funkci která není absolutně integrovatelná s kvadrátem diverguje i fourierův integrál.

Stýv · 26. 02. 2013 19:27

platí

Ismael · 26. 02. 2013 19:29 — Editoval Ismael (26. 02. 2013 19:29)

↑ Stýv:
Mohu poprosit o zdůvodnění.

pf · 26. 02. 2013 20:38

Tvrzení neplatí.

Stýv · 26. 02. 2013 21:08 — Editoval Stýv (26. 02. 2013 21:12)

snadno se dokáže obměna: $\int_{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx < \infty\quad\Rightarrow\quad\int_{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}dx< \infty$ . pokud totiž $\int_{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx < \infty$ , blíží se $|f(x)|$ v $\pm\infty$ k nule "dost rychle" a $|f(x)|^2$ se tedy blíží k nule ještě rychleji

EDIT: jak tak na to koukám, asi to vyžaduje ještě nejakej další předpoklad, např. omezenost

pf · 26. 02. 2013 23:00 — Editoval pf (27. 02. 2013 15:27)

Implikace $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,\mathrm{d}x < \infty \ \Rightarrow \ \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}\,\mathrm{d}x < \infty$ obecně neplatí. Protipříklad je např. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ pro $x\in(0,1)$ , $f(x)=0$ jinak.
(EDIT: funkce f(x) zcela jednoznačně.)

Stýv · 26. 02. 2013 23:28

↑ pf: však jsem se opravil hned po tom, co jsem to napsal. spletl jsem si to s prostorama posloupností $\ell_p$

mimochodem, u toho protipříkladu by bylo ještě třeba dodefinovat f v 0

Matematické Fórum

#1 26. 02. 2013 18:25 — Editoval Ismael (26. 02. 2013 18:26)

Lp prostory funkcí, jednoduchá otázka.

#2 26. 02. 2013 19:27

Re: Lp prostory funkcí, jednoduchá otázka.

#3 26. 02. 2013 19:29 — Editoval Ismael (26. 02. 2013 19:29)

Re: Lp prostory funkcí, jednoduchá otázka.

#4 26. 02. 2013 20:38

Re: Lp prostory funkcí, jednoduchá otázka.

#5 26. 02. 2013 21:08 — Editoval Stýv (26. 02. 2013 21:12)

Re: Lp prostory funkcí, jednoduchá otázka.

#6 26. 02. 2013 23:00 — Editoval pf (27. 02. 2013 15:27)

Re: Lp prostory funkcí, jednoduchá otázka.

#7 26. 02. 2013 23:28

Re: Lp prostory funkcí, jednoduchá otázka.

Zápatí