Matematické Fórum

sydney · 04. 01. 2009 18:25

Ahoj, mám problém s řadami a nevím jak na to. Mohl byste se někdo pokusit vysvětlit mi postup u násl. příkladu?

Určete střed konvergence, poloměr konvergence, interval konvergence a obor konvergence mocninné řady $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{5^n*n}$

Marian · 04. 01. 2009 23:21

↑ sydney:
Střed konvergence (nebo lépe střed intervalu konvergence potenční řady) je v tomto případě číslo 3. Potenční řada má totiž obecně tvar
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-a)^n.$
Číslo a (ve tvém případě je a=3) se nazývá střed intervalu konvergence potenční řady. Lze si všimnout, že pro x=a, tedy pro x=3 daná řada konverguje (totiž její součet je triviálně roven nule). Poloměrem konvergence potenční řady se pak nazývá číslo r>0 nebo r=0 takové, že pro všechna čísla x z intervalu (a-r,a+r) potenční řada konverguje. Toto číslo r se určuje pomocí tzv. Cauchy-Hadamardova vzorce a je dáno vztahem
$\frac{1}{r}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$
Je-li $\frac{1}{r}=\infty$ , pokládáme $r=0$ . Tuto limitu spočítáš jistě sám. Abys našel obor konvergence potenční řady, musíš ještě vyšetřit, jak se řada chová z hlediska její konvergence v krajních bodech intervalu. To se provádí samostatně, většinou dosazením hodnoty a+r, a-r za x.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2009 18:25

Konvergence řady

#2 04. 01. 2009 23:21

Re: Konvergence řady

Zápatí