Matematické Fórum

hmyzak · 04. 01. 2009 18:42

x^3 - 3x^2 - 9x - 5=0

Prosím o postup jak se dopracovat ke kořenům této rovnice. Rád bych se vyhnul Cardanovým vzorcům. Výsledek ma být -1, -1 a 5. Může mí někdo poradit jak k tomu dojít?

Díky

peena · 04. 01. 2009 19:04 — Editoval peena (04. 01. 2009 19:10)

Už jsem se tu o tom podrobně rozepsal v nějakém jiném příspěvku, vyhni se kubické rovnici, uvidíš, že to ve tvém případě jde ...

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=945&p=3

hmyzak · 04. 01. 2009 19:10

A jak? Tato rovnice vznilkla z determinantu matice, z které potřebuji získat vlastní čísla matice a mohl pokračovat na vlastní vektory a spektrální rozklad

peena · 04. 01. 2009 19:29 — Editoval peena (04. 01. 2009 19:29)

↑ hmyzak:

http://vondrak.am.vsb.cz/LA-IT/Practices/lacv14.pdf - strana 71

V tom příkladu se taky přece nedopracoval zbytečně ke kubické rovnici, i když by mohl ... proč to dělat složitě, když to jde jednoduše.

Pokud ti tohle nebude stačit, tak ti to pozdějš rozepíšu, fakt to není nic těžkého, jen bys tu musel hodit tu matici.

Olin · 04. 01. 2009 19:33

Jde využít různé fígle, jak se Cardanovým vzorcům vyhnout, ovšem pouze za předpokladu, že je řešení "hezké".

Podle věty o racionálních kořenech platí, že pokud má tato rovnice nějaké racionální kořeny, pak to mohou být jen 1, -1, 5 a -5. Vyzkoušíme dosazením a pokud nějaký vyjde, dělením polynomu kořenovým činitelem dostaneme polynom druhého stupně, tedy kvadratickou rovnici, kterou už snadno vyřešíme.

Dále - pokud má polynom $P(x)$ nějaký kořen násobný, pak má tento kořen i jeho derivace $P'(x)$ . Určíme tedy největšího společného dělitele původního polynomu a jeho derivace a tím zjistíme násobné kořeny. Toto je ale dost pracné, obvykle se to provádí pomocí Euklidova algoritmu.

hmyzak · 04. 01. 2009 19:46

↑ peena:

Jedná se o příklad 2. z této stránky http://vondrak.am.vsb.cz/la-it/Projects/la_proj_01.pdf

Už jsem si kontroloval na jednom webu, že opravdu vyjde kubická rovnice, nebo nevyjde? Díky za radu

hmyzak · 04. 01. 2009 19:51

↑ Olin:

Ohledně té věty o racionálních kořenech, pochopil jsem to správně že ta sestavené věta je:

x=+-p/q

x=1,-5/1,1

takže to vyjde 1,-1,5 a -5, jenže podle všeho mají k této matici (odkaz viz výše) být tři vlastní čísla a to -1, -1 a 5. Proč je to tak? Proč je zde -1 2x?

Olin · 04. 01. 2009 22:07 — Editoval Olin (04. 01. 2009 22:12)

No ta věta o racionálních kořenech říká pouze to, že tato čísla být kořeny mohou a o jejich násobnosti už nic. Tudíž ty takto třeba zjistíš, že -1 je kořen a pak ten polynom podělíš (x+1) a dostaneš kvadratickou rovnici, jejíž jedním kořenem je opět -1.

peena · 04. 01. 2009 22:38

No já se dopracoval k něčemu takovému, ale nevychází to ....

$(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-3)=0$

Momentálně nevím, kde je chyba ...

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2009 18:42

Kořeny kubické rovnice

#2 04. 01. 2009 19:04 — Editoval peena (04. 01. 2009 19:10)

Re: Kořeny kubické rovnice

#3 04. 01. 2009 19:10

Re: Kořeny kubické rovnice

#4 04. 01. 2009 19:29 — Editoval peena (04. 01. 2009 19:29)

Re: Kořeny kubické rovnice

#5 04. 01. 2009 19:33

Re: Kořeny kubické rovnice

#6 04. 01. 2009 19:46

Re: Kořeny kubické rovnice

#7 04. 01. 2009 19:51

Re: Kořeny kubické rovnice

#8 04. 01. 2009 22:07 — Editoval Olin (04. 01. 2009 22:12)

Re: Kořeny kubické rovnice

#9 04. 01. 2009 22:38

Re: Kořeny kubické rovnice

Zápatí