Matematické Fórum

Revolution · 01. 03. 2013 02:03

Ahoj,
$\int_{}^{}arcsin(sinx)dx=?$ , $x\in (-\pi ,\pi )$

per partes>
$f=arcsin(sinx), df= (arcsin(sinx))'$
$g=x, dg=dx$

$\int_{}^{}arcsin(sinx)dx=$ $x\cdot arcsin(sinx)-\int_{}^{}x\cdot (arcsin(sinx))'$
$=x\cdot arcsin(sinx)-\int_{}^{}x\cdot cosx\cdot \frac{1}{\sqrt{1-sin^2x}}= x\cdot arcsin(sinx)-\int_{}^{}\frac{cosx}{|cosx|}$ $= x\cdot arcsin(sinx)-sgnx\int_{}^{}1dx=x^2-sgnx\cdot \frac{x^2}{2}=1/2x^2\cdot sgnx$

Ale ma to vyjit takto:
$\frac{x^2}{2}+\frac{\pi ^2}{4}$ pro $x\in <\frac{-\pi}{2},\frac{\pi }{2}>$
$-\frac{x^2}{2}+\pi |x|$ pro $x\in (-\pi ,\frac{-\pi}{2}>\cup <\frac{\pi }{2},\pi )$

Bati · 01. 03. 2013 07:58

Ahoj,
chybu máš zhruba v polovině výpočtu, když jsi tam napsal to $\int\frac{\cos{x}}{|\cos{x}|}$ , tam něco chybí. Také nelze vytýkat $\text{sgn}\,{x}$ z integrálu, protože je to funkce proměnné x a ne konstanta. I kdybys to ale udělal správně, nedostaneš se bez nějakého rozlišení případů přímo k výsledku. Nejlepší proto je rozlišit ty případy hned na začátku. Uvědom si, že v zadání je složení nějaké funkce se svojí inverzní funkcí. To je velmi jednoduchá věc, až na to, že je třeba si všimnout, na jakém intervalu se to dělá.

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2013 02:03

integral

#2 01. 03. 2013 07:58

Re: integral

Zápatí