Matematické Fórum

borisTIGER

Ahoj tak si opět nevím bohužel rady :(. Tentokrát se jedná o průběh funkce. Díky za vaši pomoc.

Příklad zní: Vyšetřete průběh funkce:
$f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x+1}{x-1}$

jelena · 19. 11. 2007 18:00

http://mathonline.fme.vutbr.cz/Prubeh-f … fault.aspx podivej u sousedu na postup - zkus krok po kroku.
Budes potrebovat derivovat (1,. 2., derivace, limita funkce, jinak dle navodu) Napis, kam jsi dosel a co konkretne neni jasne - muzes i na mail. Urcite to bude vysvetleno :-)

borisTIGER

ok, takže
D(f)=R-{1}
funkce není ani sudá ani lichá
první derivace mně po úpravě vyšla: $f'(x)=\frac{2x^3-6x^2+6x-4}{(x-1)^2}$
první překážka :) ... položit derivaci rovno nule. V tomto kroku si nejsem jistý, zda-li počítám správně.
$2x^3-6x^2+6x-4=0$ Tento polynom jsem zkoušel rozložit pomocí Hornerova schématu a vypadl mě jen jeden kořen: x=2 ... Nevím jestli je možné aby mně vyšel pouze jeden kořen.
Dále jsem určil monotónost funkce: (-nekonečno, 1) - klesá bod x=2 - Lokální minimum
(1;2) - klesá
(2;+nekonečno) - roste
druhou derivace po úpravě: $f"(x)=\frac{-4x^3+6x^2+2}{(x-1)^3}$
Tady jsem nedokázal položit derivaci rovno nule vůbec. Nenašel jsem žádný kořen.
Mno a potom následuje výpočet asymptot funkce, který se mi díky limitám zdá nejtěžší a moc tomu nerozumím :(

jelena · 19. 11. 2007 21:04 — Editoval jelena (19. 11. 2007 21:15)

Velmi nedejne :-)

Zacatek mas OK, derivace - OK, znamenka jsem prekontrolovala :-) (edit)
U rozkladu pak pouzij toto:

$2x^3-6x^2+6x-4=0$

$2(x^3-3x^2+3x-1 -1)=0$

$2((x-1)^3 -1^3)=0$ a dal dle vzorce a^3 - b^3
Pokracuji v kontrole :-)

Marian · 19. 11. 2007 21:04 — Editoval Marian (19. 11. 2007 21:08)

Jak jsem na tomto foru ji s jelenou diskutoval, Hornerovo schema neni v obecnem pripade efektivnim prostredkem k faktorizaci polynomu. Skutecne jeden z korenu je x=2. Pomoci hornerova schematu bychom mohli take dostat rozklad, totiz v nasem pripade

$2x^3-6x^2+6x-4=2(x-2)(x^2-x+1)$ .

Poslene uvedeny kvadraticky trojclen je jiz nerozlozitelny v $\mathbb{R}$ . Tudiz neexistuji dalsi nulove body. Derivace neexistuje v bode x=1, ten vsak nelezi v D(f), nemuze proto byt stacionarnim bodem funkce f(x). Graf derivace je zde

$http://matematika.havrlant.net/forum/upload/420-f\'(x).gif$ .

Odtud je zrejmo mnoho veci.

Dale se postupuje podobne. Muzete ale postupovat jinak a snad v tomto pripade i rychleji. Plati totiz

$f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x+1}{x-1}=\frac{(x^3-3x^+3x-1)+2}{x-1}=\frac{(x-1)^3+2}{x-1}=(x-1)^2+\frac{2}{x-1}$ .

Odtud se derivace spocte snadneji a nebude zapotrebi pouzit Hornerovo schema. Druha derivace bude take odtud velice snadna.

PS: Obrazek se mi nechce zobrazit. Najdete jej zde.

jelena · 19. 11. 2007 21:06

Mariane, zdravim, vzacna shoda a na minutu presne :-)

borisTIGER · 19. 11. 2007 22:03

Pochopil jsem správně, že použití Hornerova schématu nikam nevede?
Mariane nerozumím jakým způsobem jsi upravil v druhém postupu jednodušší podobu funkce ( konkrétně nerozumím 2. a 3.kroku) s podobnou úpravou jsem se pravděpodobně ještě nesetkal.

Jeleno: Nemohla by si prosím nastínit jak by se dal pracoval podle tvojí úpravy?

jelena · 19. 11. 2007 22:35

Tak jsem zpet s dalsim postupem - at Hornerem nebo nasimi navrhy se dopracujeme k jedinemu bodu x = 2, kde je 1. derivace nulova.

Marian postupoval tak, ze 1 na konci zadani funkce rozepsal jako 1= -1 + 2, cimz mu vznikl vzorecek (a+b)^3 +2, pak po castech deli jmenovatelem.
Ja delam neco podobneho, ale uz ve vyrazu pro derivace.

2. derivace vypada takto:

$f"(x)=\frac{2x^3-6x^2+6x+2}{(x-1)^3}$

nebo v uprave od Mariana:

$f"(x)=2 + \frac{4}{(x-1)^3}$ tady se dopracujeme v R k neprilis hezkemu, ale vysledku $(x-1)^3 =-2$ ,
odkud mame nulovy bod pro druhou derivaci jako -(treti odmocninu z 2) +1 $x=- \sqrt[3]{2} +1$ . Priznam se, ale ze jsem vysledek hledala a prekontrolovaval graficky.

jelena · 19. 11. 2007 22:54 — Editoval jelena (19. 11. 2007 23:01)

Jelikoz mame prvni a druhou derivaci a jeji nulove body, muzeme vysetrovat funkci na monotonnost, konvexnost a konkavnost - to urcite zvladnes.

Jeste jsme nic nerekli o chovani funkce v okoli bodu nespojitosti - limita funkce zleva a zprava (x ->1) zleva se funkce smeruje do -oo, zprava do + oo.

Pruseciky s osami - to asi bude bez problemu.

Asymptoty: vertikalni mame x=1.

Asymptoty se smernici dle vzorce y = kx + q
(tam necekame zadny zajimavy vysledek, jelikoz rad mocniny v zadani funkce (citatel/(jmenovatel * x) bude vychazet ve prospech citatele a dostaneme oo.

A na zaver (no je to velmi graficky nezdarile, ale uz jsem lina to nejak zlepsovat):

Pro BorisTIGER: je to alespon trochu k uzitku? - je to spise nastin, nez cely postup, prece jen to vypisovani je narocne. Pripadne se ptej.

Pro Mariana: ocekavam spravedlivou kritiku, za kterou jiz ted dekuji, to myslim zcela uprimne.

Harris · 20. 11. 2007 10:38

Ahoj lidi potreboval bych pomoct s vysetrenim prubehu funkce dostali jsme to jako seminarni praci, ale ja s matikou nejsem takovy kamarad jaky bych mel byt a dela mi to znacny problem. Priklad zni f(x)=x-lnx predem diky za pomoc

jelena · 20. 11. 2007 11:39 — Editoval jelena (20. 11. 2007 15:25)

Harris napsal(a):
f(x)=x-lnx

http://mathonline.fme.vutbr.cz/Prubeh-f … fault.aspx - treti priklad v resenych ma hodne podobnou skladbu funkci, az na deleni. Zkus zacit podle vzoru a prubezne hlas, kam jsi dosel (to abychom nemeli takovou praci hledat te, pokud se zabloudis :-). Nemusis to vypisovat v TeXu, staci slovne nebo rukou psany prilozeny obarzek. S celym vypoctem tradicne pomuzu, ale tradicne az v pozdnich vecernich hodinach :-) . Hodne zdaru

Edit: doplnim, proc je trochu "zradne" poskytnout cele reseni - vetsinou se stava, ze chybi pouze par kaminku do mozaiky (u nekoho je to reseni rovnic, nerovnic - pouzivano u stanoveni definicniho oboru a pri interpretaci derivaci, u jineho - problem s derivovanim nebo nalezenem limit apod. Pokud se odstrani par prekazek, clovek zjisti, ze vysetreni prubehu funkce je ve skutecnosti velmi prijemna a zabavna vec :-) I kdyz v dnesni dobe programu, kterymi je mozne vykreslit funkci, je asi trochu nemoderni zalezitost.

borisTIGER

Ahoj díky za vaše rady. Myslím, že teď už si s příkladem poradím. Ještě bych vás chtěl požádat aby ste mi vysvětlili jednu věc.
Snažím se nastudovat počítaní asymptot z této stránky: http://math.feld.cvut.cz/mt/txtc/3/txc3cb3d.htm
Nerozumím výpočtu těchto limit:
[img]http://matematika.havrlant.net/forum/upload/488-limita nechapu.gif[/img]

Podle mě by měla být rovna nekonečnu a ne 1/2 :/

Ten obrázek se nechce jaksi zobrazit. Jedná se o výpočet šikmé asymptoty.

jelena · 20. 11. 2007 18:14

borisTIGER napsal(a):
Snažím se nastudovat počítaní asymptot z této stránky: http://math.feld.cvut.cz/mt/txtc/3/txc3cb3d.htm
Nerozumím výpočtu těchto limit:
http://matematika.havrlant.net/forum/up … echapu.gif

Kdyz se pozorne podivas na zapis, tak tam chybi x v jmenovateli - nejdriv je psano spravne f(x)/x, v dalsim zapisu je ale pouze f(x) uz dosazeno, ale x vypadlo, spravne ma vychazet 3 - nejvyssi mocnina x jak v jmenovateli, tak v citateli (pokud tam spravne doplnis x do citatele). Zkus si to sam dosadit, vychazi 1/2. Dle meho, v textu je preklep.

Harris · 20. 11. 2007 18:54

No abych rekl pravdu tak ani nevim jak zacit...zatim jsem skusil vypocitat definicni obor ten je myslim 0 ale nejsem si jisty...ostatni veci jako urcovani zda je suda ci licha, no abych rekl pravdu byl jsem posledni mesic a pul po nehode a ve skole jsem nebyl ted jsem tam prisel a zrovna zadavali tento ukol takze...nemma ani trochu poneti jak na to...hledal jsem na internetu nejake vysvetleni ale mno nechapu..ale i tak diky jeleno ;)

jelena · 20. 11. 2007 19:00

Pro Harris: dobra, zatim studuj ten postup, at alespon tusus o cem je rec, ja mezitim jeste dodelam neco jineho a pustim se do tveho zadani - to oznamuji i pro ostatni, ze ukol bude vyresen.
Leda ze by kolega BorisTIGER si to zadal jako rozcvicku :-)

jelena · 20. 11. 2007 20:50 — Editoval jelena (20. 11. 2007 21:44)

jelena napsal(a):
ukol bude vyresen.

Tak snad bude :-) neni to psano ale v absolutne precizni matematicke reci. trochu se za to omlouvam :-)

$f(x) = x - lnx$

1. Definicni obor - viz zadani funkce.
Dle definice logaritmu vyraz za ln musi byt kladny, tj. x > 0.
$D_f:\ x\in(0; \infty)$

2. nema bod nespojitosti

3. suda, licha? - z definicniho oboru je zrejme, ze f-ce neni ani suda, ani licha.

4. f-ce neni periodicka.

5. Chovani f-ce na hranici def.oboru
$\lim_{x\rightarrow0^+}(x-lnx)=+\infty$

6. pruseciky:
s osou y? - neni (vyplyva z definicniho oboru),
s osou x? 0 = x - ln x - rovnice nema reseni, prusecik s osou x neni.

7. Derivace:

$f'=1-\frac{1}{x}\nl f''=\frac{1}{x^2}\nl$

8. Monotonnost funkce

Budeme hledat body podezrele y extremu, f´(x) = 0
$1-\frac{1}{x} = 0 \nl x=1$ overujeme, zda se jedna o lokalni max nebo min
na intervalu (0, 1) nabyva prvni derivace zapornych hodnot, na intervalu (1, + oo) nabyva prvni derivace kladných hodnot (zmena znamenka derivace z - na +), predpokladame, ze je to lokalni minimum. Hodnota druhe derivace v bode x = 1 je kladna.
V bode x=1 se naleza lokalni minimum funkce.
Intervaly monotonnosti: funkce je klesajici na intervalu (0,1), funkce je rostouci na intervalu (1, + oo)

To odesilam jako prvni cast ulohy :-)

borisTIGER

Tak proč ne aspoň si na tom třeba něco ozřejmím. :)
1.) Určíme definiční obor: D(f)=R+=(0,+oo) .... funkce ln(x) je definována pouze pro kladnou část osy x
Dále si můžeme určit znaménko funkce na celém jejím definičním oboru, protože nemáme žádný bod nespojitosti. Do zadání funkce dosádíme libovolné číslo z intervalu (0;+oo) vyjde nám kládné znaménko

2.) Provedeme 1. derivaci f(x)
$y'=1-\frac{1}{x}$
derivaci položíme rovno nule: $1-\frac{1}{x}=0$ => x=1

Z 1.derivace určíme jak se funkce bude chovat v jednotlivých intervalech: (0;1) (1;0)
- + => bod x=1 je lokální minimum, v intervalu (0;1) fce
klesá a v (1;0) roste
3.) Spočteme 2.derivaci
$y"=(1-x^{-1})'=1x^{-2}=\frac{1}{x^2}$
Když položíme 2.derivaci rovno nule zjistíme, že 2.derivace není nikdy rovna nule => fce nemá inflexní bod
zjistíme znaménko na intervalu (0,+8) ... dosazením jakékoliv hodnoty z intervalu (0,+8) dostaneme + => funkce je na celém svém definičním
oboru konvexní.

4.) Zjistíme limitu pro x->0+ (zleva nemá smysl, protože fce není na této části osy x definována)
$\lim_{x\rightarrow0+}x-lnx=|0-(-\infty)|=+\infty$

A lim pro x-> +oo
$\lim_{x\rightarrow\infty}x-lnx=|\infty-\infty|=\infty$

Kdybych uměl vkládat obrázky, dám ti sem i graf funkce.
Jo a sry za to že to sem tam trochu ulítne v tom texu ještě to nemám moc v krvi :)

Marian · 20. 11. 2007 21:20 — Editoval Marian (20. 11. 2007 21:26)

Ahoj jeleno.

Je tam takova mala drobnost, totiz

$\not\exist\lim_{x\to 0}\left (x-\ln x\right )$ .

Existuje ale jednostranna limita zadane funkce, totiz presneji limita zprava v bode x=0. To jsi tam chtela jiste napsat, ale minusko se ti asi uz neveslo na monitor :-).

Jinak muzes zkusit psat logaritmus v $\scriptsize\TeX$ u pomoci $\mathtt{\backslash\ln}$ , tedy s opacnym lomitkem, at se vysazi jako operator.

Ale to jsem asi spise ja puntickar nekdy, takze me neber moc vazne :-).

Prijemny vecer preje Marian ...

jelena · 20. 11. 2007 21:42 — Editoval jelena (20. 11. 2007 22:07)

Pokracovani :-)

$f(x) = x - lnx$

Derivace:

$f'=1-\frac{1}{x}\nl f''=\frac{1}{x^2}\nl$

9. Konvexnost - konkavnost, inflexni bod ? druha derivace se norovna 0 pro zadne x, druha derivace je kladna pro kazde x z definicniho oboru - zadana funkce je konvexni na celem definicnim oboru.

10. Asymptoty

a) vertikalni asymptota na hranici definicniho oboru x = 0

b) asymptota se smernici y = kx + q ?

$k=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x-lnx}{x}\nl \lim_{x\rightarrow\infty}(1 -\frac{lnx}{x})\nl \lim_{x\rightarrow\infty}(1 -\frac{(lnx)'}{(x)'}) = 1 - 0 = 1$

k= 1, hledama q

$q=\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-kx)= \lim_{x\rightarrow\infty}(x-lnx-x)=\lim_{x\rightarrow\infty}(-lnx) = \infty$

asymptotu se smernici nemame - tady to bylo opraveno po upozorneni kolegu, za coz dekuji

A jeste graf :

borisTIGER · 20. 11. 2007 21:50

Jeleno zjistila si že má funkce šikmou asymptotu y=x
Když se ale dívám na graf funkce nevidím že by se funce nějak přimykala k této asymptotě. Mohla bys mě to vysvětlit?

Marian · 20. 11. 2007 21:52 — Editoval Marian (20. 11. 2007 21:56)

Problem je v tom, ze ta limita pro koeficient q v rovnici sikme asymptoty je spatne spoctena. Ta limita je nevlastni. Tudiz je jasne, ze sikma asymptota neexistuje.

jelena · 20. 11. 2007 21:58

Marian napsal(a):
Existuje ale jednostranna limita zadane funkce, totiz presneji limita zprava v bode x=0. To jsi tam chtela jiste napsat, ale minusko se ti asi uz neveslo na monitor :-).

Take hezky vecer :-)

No ja jsem tam chtela napsat nad nulou + a uz jsem to udelala (ano, myslela jsem zprava).

Co se tyce TeXovych uprav, v urcitych ohledech jsem trochu (hm, to je pochvala) lina.

Bud tak hodny, zkontroluj i ten zbytek - zadani je jednoduche, ale ten muj prepis :-(

Zdravi Jelena

borisTIGER · 20. 11. 2007 22:00

$q=\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-kx)= \lim_{x\rightarrow\infty}(x-lnx-x)=\lim_{x\rightarrow\infty}(-lnx) = 0$

v posledním kroku je asi chyba ne?

$q=\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-kx)= \lim_{x\rightarrow\infty}(x-lnx-x)=\lim_{x\rightarrow\infty}(-lnx) = -\infty$

jelena · 20. 11. 2007 22:05

Ano, uz to jdu opravit, dekuji :-)

borisTIGER · 20. 11. 2007 22:08

No myslím že dík vám sem si docela dost ujasnil počítání průběhů funkcí ( i když je stále co zlepšovat). Snad to zítra na písemce zúročím :) ... Díky moc a dobrou

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2007 17:33 — Editoval borisTIGER (19. 11. 2007 17:39)

Průběh funkce

#2 19. 11. 2007 18:00

Re: Průběh funkce

#3 19. 11. 2007 20:44 — Editoval borisTIGER (19. 11. 2007 20:53)

Re: Průběh funkce

#4 19. 11. 2007 21:04 — Editoval jelena (19. 11. 2007 21:15)

Re: Průběh funkce

#5 19. 11. 2007 21:04 — Editoval Marian (19. 11. 2007 21:08)

Re: Průběh funkce

#6 19. 11. 2007 21:06

Re: Průběh funkce

#7 19. 11. 2007 22:03

Re: Průběh funkce

#8 19. 11. 2007 22:35

Re: Průběh funkce

#9 19. 11. 2007 22:54 — Editoval jelena (19. 11. 2007 23:01)

Re: Průběh funkce

#10 20. 11. 2007 10:38

Re: Průběh funkce

#11 20. 11. 2007 11:39 — Editoval jelena (20. 11. 2007 15:25)

Re: Průběh funkce

Harris napsal(a):

#12 20. 11. 2007 17:15 — Editoval borisTIGER (20. 11. 2007 17:18)

Re: Průběh funkce

#13 20. 11. 2007 18:14

Re: Průběh funkce

borisTIGER napsal(a):

#14 20. 11. 2007 18:54

Re: Průběh funkce

#15 20. 11. 2007 19:00

Re: Průběh funkce

#16 20. 11. 2007 20:50 — Editoval jelena (20. 11. 2007 21:44)

Re: Průběh funkce

jelena napsal(a):

#17 20. 11. 2007 21:17 — Editoval borisTIGER (20. 11. 2007 21:28)

Re: Průběh funkce

#18 20. 11. 2007 21:20 — Editoval Marian (20. 11. 2007 21:26)

Re: Průběh funkce

#19 20. 11. 2007 21:42 — Editoval jelena (20. 11. 2007 22:07)

Re: Průběh funkce

#20 20. 11. 2007 21:50

Re: Průběh funkce

#21 20. 11. 2007 21:52 — Editoval Marian (20. 11. 2007 21:56)

Re: Průběh funkce

#22 20. 11. 2007 21:58

Re: Průběh funkce

Marian napsal(a):

#23 20. 11. 2007 22:00

Re: Průběh funkce

#24 20. 11. 2007 22:05

Re: Průběh funkce

#25 20. 11. 2007 22:08

Re: Průběh funkce

Zápatí