Matematické Fórum

Domki · 04. 03. 2013 13:49

Čau chci se zeptat jak můžu toto řešit jinak než prostým sčítáním.? zKoušel jsem to pres posloupnost, ale to mí nějak nešlo

S = 1/2+2/3+3/4 + . . . + 10/11
Kolik je S?

Díky

martisek · 04. 03. 2013 13:58

↑ Domki:

Aritmetická ani geometrická to není, Jednoduše by to šlo sečíst počítačem. Pokud by z toho měl vypadnout nějaký vzoreček, obávám se, že jediná cesta je přijít na nějakou hypotézu o součtu členů tvaru n/(n+1) a tu hypotézu pak dokázat matematickou indukcí.

BakyX · 04. 03. 2013 14:07 — Editoval BakyX (04. 03. 2013 14:08)

↑ martisek:

Taký vzorec najskôr nebude veľmi príjemný. Platí totiž

$\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$

a harmonické čísla nemajú pekný explicitný vzorec.

martisek

↑ BakyX:

No jo, ale co s tím jinak? Jde-li jen o tento konkrétní příklad, opravdu bych to shrknul počítačem

7,980122655

a bylo by po ptákách.

Rumburak · 04. 03. 2013 17:23

Ahoj. Znáš už základy difernciálního a integrálního počtu ? Pokud ano, tak můžeme postupovat následovně.

Položme

$F(x) := \frac{1}{2}\cdot x^2 + \frac{2}{3}\cdot x^3 + ... + \frac{10}{11}\cdot x^{11}$ .

Pro $S = 1/2+2/3+3/4 + . . . + 10/11$ tedy máme

(1) $S =F(1) = F(1)- F(0) = \int_0^1 F'(x) \, \mathrm{d}x = \int_0^1 $1\cdot x^1 + 2\cdot x^2 + ... + 10\cdot x^{10}$\,\mathrm{d}x$ .

Nyní sečteme $f(x) := 1\cdot x^1 + 2\cdot x^2 + ... + 10\cdot x^{10}$ :

Položme ještě

$h(x) := 1\cdot x^0 + 2\cdot x^1 + ... + 10\cdot x^{9}$ , $H(x) := \int_0^x h(t) \, \mathrm{d}t$ ,

tedy

(2) $f(x) = x\cdot h(x) = x\cdot H'(x)$ .

Integrál definující funkci $H$ umíme spočítat:

$H(x) = \int_0^x h(t) \,\, \mathrm{d}t = \int_0^x $1\cdot t^0 + 2\cdot t^1 + ... + 10\cdot t^{9}$ \, \mathrm{d}t =\\= \[t^1 + t^2 + ... + t^{10}\]_0^x = x^1 + x^2 + ... + x^{10} = x \cdot \frac{x^{10} - 1}{x -1}$ .

Celkem dostáváme

$S = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x\cdot H'(x)\,\mathrm{d}x$

a úloha je tím převedena na výpočet integrálu, který ale není úplně snadný.