Matematické Fórum

tragicquinn · 04. 03. 2013 18:12

Prosím pomožte mi DOKÁZAT tyto dva výrazy (jakýmkoliv důkazem, nejlépe přímým):
$\forall n\in N, 5/n \Rightarrow 30/n^{3} - n$

$\forall n\in N,2\nmid n \Rightarrow 16/n^{4} -1$

((:-)) · 04. 03. 2013 18:19

↑ tragicquinn:

K jednotke:

$n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ ... sú to tri bezprostredne po sebe idúce čísla.

n je deliteľné piatimi, keď sú tri po sebe idúce, tak niektoré z nich je určite deliteľné troma a jedno z nich je určite párne.

Takže ich súčin je deliteľný číslom 2 * 3 * 5, teda 30.

zdenek1 · 04. 03. 2013 18:26

↑ tragicquinn:

1)
Označme si $n=5k$
pak $n^3-n=125k^3-5k=5k(25k^2-1)=5k(5k-1)(5k+1)$
to je součin tří za sebou jdoucích čísel. Z těchto čísel je právě jedno dělitelné třemi a aspoň jedno dělitelné dvěma. Celý výraz je pak dělitelný pěti.
Takže číslo $n^3-n$ je dělitelní dvěma, třemi i pěti současně, je proto dělitelné třiceti.

((:-)) · 04. 03. 2013 18:43

↑ zdenek1:

Ja mám niečo iné?

tragicquinn · 04. 03. 2013 18:46

↑ zdenek1: ja jak je teda ten druhý příklad? obdobně?

zdenek1 · 04. 03. 2013 18:48

↑ tragicquinn:

2) $n=2k-1$
pak $(2k-1)^4-1=[(2k-1)^2-1]\cdot [(2k-1)^2+1]=(4k^2-4k)(4k^2-4k+2)=$
$=4k(k-1)\cdot 2(2k^2-2k+1)=8k(k-1)(2k^2-2k+1)$
z čísel $k$ a $k-1$ je právě jedno sudé.