Matematické Fórum

šidlo · 04. 03. 2013 23:38

Prosím o pomoc s dvěmi příklady:

1.příklad
Mám určit definiční obor funkce
$f(x)=\sqrt[5]{\ln (\text{tg}x)}$

Moje řešení, ale nevím, jak dál:
$\text{tg}x$ je větší než $0$ $\wedge$ $x\in \mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$

Nevím, jak zapsat s podmínek definiční obor:
$D(f)=(0+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi )$ ????

2.příklad
Mám sestrojit graf funkce $f(x)$ , která je definovaná třemi funkcemi v jednotlivých intervalech:
$\sin (x-1)+1$ pro $x\in (-\infty ;-1)$
$x$ pro $\langle-1;1\rangle$
$\sin (-x+1)-1$ pro $x\in (1;\infty )$

Freedy · 05. 03. 2013 00:09 — Editoval Freedy (05. 03. 2013 00:16)

1. příklad:
Musíš vyřešit kdy bude tgx > 0
čili:
$\text{tg}x >0$
Takže kdy bude tangens větší než nula... Když je x z intervalu:
$x\in (k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi )$

Dálě řešíš rovnici kdy bude přirozený logaritmus tgx kladný:
takže:
$\ln (\text{tg}x)\ge 0$
z toho plyne že:
$\text{tg}x\ge 1$
A to znamená že x je z intervalu:
$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi )$
A tobě stačí udělat průnik, těchto dvou výsledků.

....... k tomu prvnímu příkladu. Omlouvám se nevšiml jsem si liché odmocniny. Ale jak jsem tady nedávno řešil, tak prý lichá odmocnina se definuje pouze pro kladná x stejně jako sudá. Takže toto řešení je pouze v případě že se u vás definuje lichá odmocnina pouze pro kladná x

K té dvojce:
stačí když prostě na intervalu (-nekonečno;-1) uděláš graf fce:
$\sin (x-1)+1$
Takže vlastně uděláš graf funkce sinx a posuneš ho celý o 1 doprava a o 1 nahoru.
Potom na intervalu (-1;1) prostě osu prvního a třetího kvadrantu.
A na intervalu (1;nekonečno)
$\sin (-x+1)-1$
Tak stačí udělat graf sin(-x) -- obrátit graf sinx. A potom ho celý posunout o jedno doprava.

šidlo · 05. 03. 2013 07:23

Myslím si, že definiční obor pro lichou odmocninu je $\mathbb{R}$ , a proto se u složené funkce řeší jen, podmínka přirozeného logaritmu: $\text{tg}x$ je větší než $0$ a vymezení funkce tg x.

Freedy · 05. 03. 2013 07:51

Taky sem si to myslel (viz téma), ale prý se někde definuje lichá odmocnina jen pro kladná x. Wolfram alpha to definuje pro kladná jen. Můj vykreslovač grafů rovněž. Když se ale definuje lichá odmocnina v $\mathbb{R}$ tak v tom případě vypadne podmínka že musí být ln(tgx) kladný a tudíž stačí řešit jednoduchou nerovnici.
A definiční obor by se tím pádem zapsal jako:
$x\in (k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi ).. k\in \mathbb{Z}$

martisek · 05. 03. 2013 14:13

↑ šidlo: ↑ Freedy:

Ten, kdo definuje lichou odmocninu i pro záporná čísla, jinými slovy říká, že

$\sqrt[n]{a^m}\not =a^{\frac m n}$ .

Je-li totiž lichá odmocnina definována i pro záporná čísla a zároveň platí $\sqrt[n]{a^m} =a^{\frac m n}$ , pak platí třeba i

$-2 =\sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac 1 3} = (-8)^{\frac 2 6} = \sqrt[6]{(-8)^2}=2$

Matematické Fórum

#1 04. 03. 2013 23:38

Definiční obor

#2 05. 03. 2013 00:09 — Editoval Freedy (05. 03. 2013 00:16)

Re: Definiční obor

#3 05. 03. 2013 07:23

Re: Definiční obor

#4 05. 03. 2013 07:51

Re: Definiční obor

#5 05. 03. 2013 14:13

Re: Definiční obor

Zápatí