Matematické Fórum

Martin.cz3 · 06. 01. 2009 11:47

Body
A=[2;3] , B=[4;5] , C=[6;-1]

Výsledek je: (x-5)^+(y-2)^=10

Potřeboval bych zjistit postup jak na to.
Děkuji

O.o · 06. 01. 2009 12:11 — Editoval O.o (06. 01. 2009 12:25)

↑ Martin.cz3:

Ahoj .),

možná by to šlo řešit jakousi soustavou rovnic?

Když by byla kružnice obecně zapsaná takto:
$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ , kde m; n jsou souřadnice středu (m - xová souřadnice, n ypsilonová souřadnice), x, y souřadnice bodu na kružnici a r poloměr kružnice.

Tak pokud dosadíš pokaždé jeden bod (za x,y), tak dostaneš tři rovnice o třech neznámých.

To jen pokus o něco, možná by to bylo lepší řešit jinak..

jendula11 · 06. 01. 2009 13:13

výše uvedeným způsobem jseem to zkoušel je to dosti zdlouhavé, vede to k cíli jen pokud to budeš takhle počítat tak je potřeba zavést parametr: p=m^2 + n^2 - r^2.

lukaszh · 06. 01. 2009 13:50

↑ jendula11:
Ja som to počítal rovnakým spôsobom ako navrhol ↑ O.o: a žiadny parameter tam nie je potrebný. Je to síce sústava nelineárnych rovníc o troch neznámych, ale kvadratické členy tam aj tak vypadnú. Mohla by si zdôvodniť ten parameter a čo vlastne vyjadruje, prípadne napíš svoje riešenie. Nemá tam aký parameter vychádzať, lebo kružnica je jednoznačne určená troma bodmi, čo je v zadaní splnené.

Almion · 06. 01. 2009 14:00

Pripadne si muzeme uvedomit, ze hledame rovnici kruznice opsane troujhelniku ABC. Kruznice opsana ma stred na pruseciku os stran - vyjadrime si tedy rovnice pro dve osy stran a najdeme jejich prusecik, tj. souradnice stredu kruznice. Pres vzdalenost dvou bodu pak najdeme polomer a vse doplnime do rovnice kruznice.

jendula11 · 06. 01. 2009 14:00

pouze jsem ty tři kvadratické členy nahradil jedním parametrem což jsem dostal soustavu lineárních rovnic netvrdím že je to jediné řešení mě tot ak napadlo jistě to jde i jinak

lukaszh

Uvádzam celý postup, aby sa Martin nepoplietol:

Najprv dám do rovnosti prvé dve rovnice a vyjadrím m:

Toto m dosadím do tretej rovnice a do ľubovoľnej z predchádzajúcich dvoch.

Opäť ich položiť do rovnosti a dostanem tak rovnicu o jednej neznámej n:

Teraz dopočítam m, r:
$m=7-2=5\nl(2-5)^2+(3-2)^2=r^2\quad\Rightarrow\quad r^2=10$
Teraz už len dosadiť:
$\boxed{(x-5)^2+(y-2)^2=10}$

ttopi · 06. 01. 2009 14:27

Můj postup je:

Hledáme střed kružnice opsané trojúhelníku ABC (leží v průsečíku os stran). Pak spočtem poloměr jako velikost věktoru například SA.

Co potřebujem:
2 vektory: $AC=C-A=(4;-4)\nlBC=C-B=(2;-6)$

2 body ležící na středu mezi 2 body. Zvolme bod L (mezi AC) a bod M (mezi BC)
$L[4;1]\nlM[5;2]$

Napišme rovnice os stran:
přímka l jako osa strany AC a přímka m jako osa strany BC (naše nalezené vektory přeměňme na směrové vektory os, které hledáme)
$l:x=4+4t\nly=1+4t\nl \nlm:x=5+6t\nly=2+2t$

Dojdeme k:
$l:x-y-3=0\nlm: x-3y+1=0$

Najděme průsečík těchto přímek, to bude náš hledaný střed kružnice. Takže dejme do rovnosti x:
$3+y=3y-1\nl4=2y\nly=2\nlx=5$

Máme tedy sřed $S[5;2]$

Nyní vypočtěme poloměr kružnice. Spočtěme ho jako velikost vektoru například AS:
$AS=S-A=(3-1)\nl |AS|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}=r$

Do rovnice kružnice $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$
dosaďme, co jsme vypočetli a dostáváme:

$\color{Red} (x-5)^2+(y-2)^2=10$