Matematické Fórum

Coko · 06. 03. 2013 22:47

Dobrý večer,
snažím se marně vyřešit tuto matici podle gaussovky.
$24x_{1}+14x_{2}+30x_{3}+40x_{4}+41x_{5}=28$
$36x_{1}+21x_{2}+45x_{3}+61x_{4}+62x_{5}=43$
$48x_{1}+28x_{2}+60x_{3}+82x_{4}+83x_{5}=58$
$60x_{1}+35x_{2}+75x_{3}+99x_{4}+102x_{5}=69$

Vím, že si to musím přepsat do matice, utvořit trojúhelníkový tvar s nulami, ale jak počítám, tak stále se nemůžu dokopat ke správnému výsledku. S menšími čísly bych to zvládala, ale toto nějak nechápu. Začínám tím, že první řádek vynásobím 36 a druhý řádek -24 a pak jsem dělala špatné kroky, které jsem si až teď uvědomila, že jsou špatné :)) Ale i tak nemůžu přijít na to, jaké jsou další postupy správné, ačkoli jsem si už dost k tomuto tématu přečetla. Předem moc děkuji za vypočítání nebo navedení. Coko

martisek · 06. 03. 2013 23:21

↑ Coko:

Ale tam není nutné používat vždycky násobky typu 24*36 (1. rovnice) resp. 36*24 (2. rovnice). Teoreticky to sice není špatně, ale zbytečně se tam zavlečou velká čísla, se kterými se pak prakticky nedá pracovat. V prvním kroku přece stačí první rovnici třikrát, druhou dvakrát...

Coko · 07. 03. 2013 09:22

↑ martisek: Dobrý den,
tak jsem 1. řádek tedy vynásobila 3 a 2. řádek -2. V druhém řádku mi tedy vyšla čísla 0 0 0 -2 -1, -2. Pak jsem vynásobila 2. řádek 8 a 3. řádek -6 -> zde mi vyšel 3. řádek 0 0 0 -4 -2, -4, který vydělím 2 a můžu jej škrtnout, jelikož je totožný s 2. řádkem a pak mi zbyde poslední řádek s čísly 60 35 75 99 102, 69 a tu už si nevím rady, protože nevím, jestli můžu podle prvního řádku počítat, když už jsem jednou s ním počítala, ale na druhou stranu mi nic jiného asi nezbývá. Je to tak správně?

martisek · 07. 03. 2013 09:58

↑ Coko:

Každý řádek můžete použít, kolikrát chcete. Zásadně se postupuje systematicky tak, že první řádek se používá k tomu, aby se nuly dostaly pod prvek a_11. Pak se "začně používat" druhý řádek, aby se nuly dostaly pod a_22 atd.

Spočítal jsem si tento konkrétní případ, je tam skutečně nul jak máku. Je-li aspoň jeden řádek úplně nulový, znamená to, že soustava nemá jednoznačné řešení - má jich totiž nekonečně mnoho. V tomto případě se dokonce vynulují všechny řádky kromě prvního. Znamená to, že pro těch pět neznámých máte fakticky jen jednu rovnici. Aby byla splněna, je možné hodnoty čtyř neznámých (kterýchkoli) zvolit a pátou dopočítat.

Coko · 07. 03. 2013 11:12

↑ martisek:
Potom nechápu jak výsledek mohl vyjít, s použitím substituce, $-\frac{12+14r+30s+21t}{24},r,s,\frac{2-t}{2},t$

martisek · 07. 03. 2013 12:40

↑ Coko:

Omlouvám se, spěchal jsem do výuky a poprvé jsem to asi špatně naťukal. Nenulové řádky tam zůstanou dva:

24 x_1 +14 x_2 + 30 x_3 + 40 x_4 + 41 x_5 = 28
2 x_4 + 1 x_5 = 2

Takže tři složky lze volit a dvě je nutno dopočítat. Podle výsledku byla volba následující:

x_2 = r; x_3 = s; x_5 = t.

Zbylé dvě složky vyjdou po dosazení do výše uvedených dvou rovnic - je vidět, že x_4 ze druhé rovnice vychází, tak snad je dobře i první složka.

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2013 22:47

Gaussova eliminační metoda

#2 06. 03. 2013 23:21

Re: Gaussova eliminační metoda

#3 07. 03. 2013 09:22

Re: Gaussova eliminační metoda

#4 07. 03. 2013 09:58

Re: Gaussova eliminační metoda

#5 07. 03. 2013 11:12

Re: Gaussova eliminační metoda

#6 07. 03. 2013 12:40

Re: Gaussova eliminační metoda

Zápatí