Matematické Fórum

Martass · 08. 03. 2013 16:32

Ahoj!
Po delší odmlce jsem opět zde....! A prosím o další radu.
Mám další praktický příklad ,tentokráte potřebuji nějakou rovnici pro výpočet
středu oblouku,kyž znám souřadnice počátečního bodu oblouku(X1,Y1) ,koncový bod oblouku(X2,Y2)
a poloměr oblouku.viz obr.(hodnoty se samozřejmě budou různě měnit)
Hodnoty uvedené v závorce (70 a 40) jsou ty které neznám a potřebuji dopočítat.
Prosím pokud možno vysvětlit trocha více polopatě
Děkuji

jelena · 08. 03. 2013 21:31

Zdravím Vás,

a daří se? :-) Sekci pro praxi nám ještě nezaložili. K úloze:
Máme body (x1, y1), (x2, y2) střed kružnice (m, n), poloměr R. Pokud souřadnice středu nemáme, potom bude ještě krok navíc (zatím bez tohoto kroku).

Hledáme bod, který leží na přímce $ax+by+c=0$ (a, b jsou souřadnice normálového vektoru přímky, $a=x_1-x_2$ , $b=y_1-y_2$ , $c=-(x_1-x_2)m-(y_1-y_2)n$ ) a na kružnici: $(x-m)^2+(y-n)^2=R^2$ .
Řešíme soustavu rovnic (neznáme x, y - souřadnice bodu na oblouku):
$(x_1-x_2)x+(y_1-y_2)y-((x_1-x_2)m+(y_1-y_2)n)=0$
$(x-m)^2+(y-n)^2=R^2$

Takovým způsobem dostaneme 2 body - jeden na velkém oblouku kružnice, druhý na malém oblouku - to bude třeba ošetřit např. porovnáním souřadnic bodu s okrajovými body úsečky.
Tak se ještě ozvete, zda to je použitelné. Děkuji.

Martass · 08. 03. 2013 22:44

Dobrý večer Jeleno!
Děkuji za optání,daří se přiměřeně věku. a "naše vaše" výpočty v praxi využívám,doufám,že i Vám se daří.
Sekci pro praxi jsem zkoušel hledat,ale v tomto směru žádná změna na foru nenastala,tak
jsem pokračoval v této sekci.

Jak to sleduji tak jsem si na sebe ušil opět bič!!!! (jsem nepoučitelný!!!)
Pochopil jsem to (alespoň myslím) max. do té částii,k bodu a,b jedná se vlastně o tětivu mezi
koncovými body daného oblouku a bod c leží ve středu této tětivy,je to tak?Laicky řečeno.

Ale dál na to čučím jak datel na suk.Pro mé mozkové buňky(pokud tam teda nějaké jsou)
je těch neznámých a rovnic nějak moc,hlavně m,n.
Ale vždyť mě už znáte,že je to se mnou trocha složitější,že jo........,ale děkuji za snahu

jelena · 08. 03. 2013 23:52

↑ Martass:

také děkuji. Ano, hledáme průsečík přímky, která prochází středem kružnice a je kolmá na úsečku ze známých bodů. Hodnotu c z obecné rovnice přímky jsem jen rozepsala jak najít.

Neznámých máme jen 2 - jsou to x, y. Střed kružnice jsem označila (m, n). Pokud ho znáte, tak ho dosazujte. Pokud ne a máte jen poloměr + 2 body, tak střed ještě dopočteme. jen to upřesněte.

Martass

↑ jelena:
Ano znám pouze souřadnice koncových bodů oblouku a poloměr oblouku(kružnice).
To že body m,n jsou body středu kružnice jsem tak nějak pochopil,akorát nevím co stím,
když jejich hodnoty neznám,ale potřebuji znát.
To zase bude se mnou běh na poněkud delší trati.....

jelena · 09. 03. 2013 10:53

↑ Martass:

souřadnice středu (m, n) můžeme najít opět ze soustavy rovnic:
$(x_1-m)^2+(y_1-n)^2=R^2$
$(x_2-m)^2+(y_2-n)^2=R^2$
--------------------------------------
zatím jsem zkoušela jen "nástin" vyjadřování, případně bych potom zapsala jen výsledný zápis (tuším, že do programu muselo se zapisovat všechno jako "vyjádřené" - je tak?).

Je v tom jeden zádrhel - z výpočtu mám 2 středy - jelikož jsou 2 kružnice se středem nad obloukem a pod obloukem. Měli bychom ošetřit, aby se volila jen jedna "správná kružnice" - pokud je ta myšleno.

To se mi zda použitelné např. porovnáním vzdálenosti středu od počátku souřadnic, že se zvolí ta bližší ke středu - je toto reálné? Případně upřesňujte - mám na celý den psání, tak se na Vás podívám, ale v takovém volnějším tempu :-)

To zase bude se mnou běh na poněkud delší trati.....

Martass

No právě že té poslední soustavě rovnic moc nerozumín,pořád nevím jak nějak "převrátit" to m,n,
rovnice nebyli nikdy moje hobby.....
Nevím co myslíte tím "že do programu muselo se zapisovat všechno jako "vyjádřené"".
V mém programu zadávám pouze tři předem známé hodnoty(resp.5) x1,y1 / x2,y2 / R nic jiného v tu
chvíli neznám.Následně kdy budu znát souřadnice středu oblouku budu ještě
dopočítávat počáteční a koncový úhel toho oblouku,ale s tím bych si snad už poradil,pokud budu znát
ty souřaqdnice středu(to jenom naokraj,kam se to bude dále posouvat)
Co se týče jakou kružnici použít...nevím,jde o to aby to dosahovalo pokud možno co nejvyšší přesnosti!

Jinak samozřejmě toto není nijak akutní,takže v pohodě si dělejte svoji práci,v mém případě
týden,měsíc nehraje žádnou roli.....Zatím děkuji

jelena · 09. 03. 2013 13:23

Nevím co myslíte tím "že do programu muselo se zapisovat všechno jako "vyjádřené"".
V mém programu zadávám pouze tři předem známé hodnoty(resp.5) x1,y1 / x2,y2 / R nic jiného v tu chvíli neznám.

ano, pokud si vybavuji i předchozí úlohy, tak jste potřeboval hotový vzorec, který vypočte rovnou souřadnice bodu na oblouku. Tedy mezivýpočty a odvození vzorce samotný program neřeší. Takový vzorec bychom se pokusili sestavit.

Pořad zůstává dotaz - při výpočtu ze známých bodů okrajů oblouku a poloměru dostávám 2 kružnice - příklad na obrázku. Zřejmě ale potřebujete jen jednu kružnici se středem blíž k počátku - tak? Jak budeme volit ze 2 výsledků jen jeden? Co umožňuje Váš program?

Mám pocit, že podobnou úlohu jsme řešili s frézou - jak zvolit, z které strany fréza najížděla).

takže v pohodě si dělejte svoji práci

:-) má práce je plnění požadavků ostatních - mám složky, vezmu složku, splním, zavřu, vezmu další. Na víkend mám 2 složky (+1, pokud ještě bude čas a nálada).

Martass · 09. 03. 2013 14:27

Já se omlouvám,ale i přes váš příklad z obrázku my uniká význam těch dvou kružnic,přesto
nepochybuji,že jsou třeba.Ale ještě to zkusím upřesnit takto.
Ano potřebuji vzorec,který mi vypočte souřadnice středu oblouku(kružnice)viz. můj obrázek a X?,Y?,
pokud možno bez jakýchkoli dalších mezivýpočtů.Co se týče směru najíždění frézy z toho vyplívající
i směr následného posuvu frézy po oblouku (doprava nebo doleva),tak ideální je ,že si mohu vybrat
startovní bod ,tedy buď x1,y1 nebo x2,y2.
I když tedy nechápu proč řešíme kterou z kružnic,protože střed toho oblouku(kružnice) je pro každý
případ stejný....,nebo ne?Ale je možné,že prozatím já nevidím důsledky,kdy to bude potřeba,narozdíl od Vás.
Teď musím odcestovat,tak se omlouvám ,bude zde zase k večeru.

jelena · 09. 03. 2013 16:18

↑ Martass:

Význam kružnic v příkladu na obrázku je takový - k dispozici máte jen 2 červené body na obrázku, nic víc, + velikost poloměru. Tedy Vy můžete zabodnout kružítko nad body a máte jednu kružnici (jeden možný střed (m, n)) nebo pod body - druhá kružnice.
A pokračujeme - Vámi hledány střed oblouku může být na každé kružnici 2x - jednou na "malém" oblouku mezi body, jednou na "velkém oblouku" mezi body.

Tedy z 2 červených bodů + poloměr kružnice máte celkem 4 body, co splňuji Váš požadavek "ležet na oblouku mezi 2 zadanými body". A náš společný cíl je "najít si kritérium, podle kterého si zvolíte pouze jeden bod na oblouku, který skutečně požadujete".

Zkuste si nakreslit 2 body + kružítkem k ním kružnice. Jelikož, pokud Vy si myslíte, že máte jasný oblouk, potom existuje ještě některé omezení, které jste mi dosud nesdělil. Počkám :-)

Martass

Tak jsem zpět.....
První části rozumím,(alespoň myslím),protože samozřejmě je možné vytvořit
oblouk dvěmi možnými způsoby .Nevím jestli použiji správnou mat.terminologii.
1. kdy výseč je menší jak 180st viz obr. a R50
2.kdy výseč je vetší jak 180st. viz obr. a R-50

Je tak? A po mě se žádá který z těchto způsobů chci využívat,je tak?
Pokud ano ,tak bych rád využíval obou možností,protože obojí se v praxi hodí.

2 a 3 část aha ty oblouky mohou být ještě k těmto stávajícím
zrcadlově převrácené(osa zrcadlení je tětiva),tudíž pak máme 4 možnosti.....,je tak?
Jenom mi potvrťte zda prach co mám v hlavě si s vaším mozkem už rozumí....
a já zkusím doplnit zbytek informací.

jelena · 09. 03. 2013 19:33

↑ Martass:

ano, s Vaším zadáním dostaneme souřadnice celkem 4 bodů (na Vášem obrázku budou cca nad každým nápisem R50) + 2 body zrcadlově, jak popisujete.

A dotaz - chcete pro každou konkrétní úlohu mít striktně pouze jeden bod - potom v jakém vztahu k zadaným bodům a ke středu (např. vždy jen na menším oblouku?). Nebo dostanete 4 výsledky a OK.

Ještě mi, prosím, upřesněte, zda díl, co budete opracovávat, bude jen v 1. kvadrantu souřadnic (jako na obrázku), nebo může být v souřadnicovém systému libovolně (i v záporných souřadnicích)? To sice nevím, jak použiji, ale raději se zeptám :-)

Martass

↑ jelena:
Tak to jsem rád,že jsem konečně pochopil vaše dotazy(moje chyba).Mě tam pořád mátly ty kružnice v domnění,že jsou součástí už toho výpočetu ,ne pouze k zobrazení myšlenky.....

Pro vysvětlení:řídící systém stroje si toto dopočítává vše sám,já mu jenom zadám jaký oblouk ,jestli velký nebo malý (tudíž R-50 ,nebo R50) a směr pohybu frézy funkcí G2 ve směru hod.ručiček nebo G3 proti směru( to ovlivňuje jednoduše řečeno jestli to bude "zrcadlově" nebo ne,z pohledu toho našeho obrázku).To jenom pro zajímavost.Ale smekám klobouk,že jste to vše postřehla.
Tento výpočet potřebuji pro vykreslování animace pohybu nástroje a tam už si to musím počítat sám,vlastně Vy...

Právě co mě děsí je to, že oblouk víceméně se bude obrábět v libovolném místě souř.systému,tuďíž i v záporných
hodnotách dokonce i že část může být v kladném kvadrantu a zbytek v záporném!!!

Moje představa je asi taková,že by existovali 4 úlohy pro každý oblouk zvlášť a já bych si vyvolal právě potřebnou úlohu pro můj výpočet.Pokud to ovšem půjde jenom na ty 4 úlohy(viz.záporné hodnoty)

jelena · 10. 03. 2013 00:30

↑ Martass:

děkuji, tak zatím z ↑ příspěvku 6: (soustava rovnic pro středy) zapíší vyjádření pro m, n:

$(x_1-m)^2+$\frac{y_1-y_2}{2}-\frac{x_1^2-x_2^2}{2(y_1-y_2)}+m\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}$^2=R^2$

Na pohled vypadá strašidelně, ovšem po dosazení konkrétních hodnot souřadnic okrajových bodů a hodnoty poloměru R to je obyčejná kvadratická rovnice, která se vyřeší, ovšem vyjádření $m$ není hezké. Je možné, abyste nejdřív vypočetl $m$ ? Ono by stačilo ještě přeznačit konstanty na
$A=\frac{y_1-y_2}{2}-\frac{x_1^2-x_2^2}{2(y_1-y_2)}$ ,
$B=\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}$ a upravit na:

$(x_1-m)^2+$A+Bm$^2=R^2$ , potom by šlo i pohodlně vyjádřit $m$ . Vypočte Váš program jako mezikrok $A, B$ ? Potom bych odvodila m přes A, B.

Vypočtené $m$ dosadíme do vyjádření pro $n$ :

$n=\frac{x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2}{2(y_1-y_2)}-m\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}$

----------------------
Zde ještě nechám zápis, pokud byste potřeboval vložit do programu pro výpočet, ať nemusíte přepisovat:

(x_1-m)^2+((y_1-y_2)/2-(x_1^2-x_2^2)/(2*(y_1-y_2))+m*(x_1-x_2)/(y_1-y_2))^2=R^2

n=(x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2}/(2(y_1-y_2))-m*(x_1-x_2)/(y_1-y_2)

a příklad výpočtu m v WA (pro poloměr R=3, body (3, 6), (6,3)).

---------------------------------------------
Potom bychom použili odvozené m, n do rovnic příspěvku 2.

Moje představa je asi taková,že by existovali 4 úlohy pro každý oblouk zvlášť a já bych si vyvolal právě potřebnou úlohu pro můj výpočet.Pokud to ovšem půjde jenom na ty 4 úlohy(viz.záporné hodnoty)

To bych jako problém neviděla - pokud Váš program umožňuje nastavit možnost výběru, potom mezikrok by byly středy kružnic = 4 úlohy a potom se rozhodnete na kterou úlohu ho pošlete.

Teď bych potřebovala vědět, zda můžete v mezikroku spočítat $A, B$ (edit: myslím ale, že toto vyjádření nepotřebuji, jen pro sebe pro jednodušší vyjádření, zítra/dnes tedy vzorce pro m, n ještě odvodím).

Martass · 10. 03. 2013 08:54

Dobré ráno!
Pokud jde o mezivýpočet $^{A,B}$ tak není problém ty tam mohu dělat libovolně.(pokud jim budu rozumět)
V tuto chvíli je asi podstatné,že Vy víte co děláte,protože ty postupy jsou jaksi mimo mé myšlenkové
pochody.
Výpočet $^{n}$ z poslední rovnice bych zvládl,ovšem kdybych uměl vyvodit $^{m}$ z předchozí(4-té) rovnice......

Ještě se chci zeptat,jaké podmínky(kritéria) budu potřebovat znát pro to, kterou z těch finálních úloh použiji v
mém programu,resp. na kterou úlohu se budu odkazovat?
Zatím děkuji.

jelena · 10. 03. 2013 10:40

Dobré ráno neznám (ale je pěkné - je zataženo a mlha) :-) Hezký pozdrav!
Dokončím vyjádřením m z rovnice:
$(x_1-m)^2+$A+Bm$^2=R^2$ upravím na kvadratickou $ax^2+bx+c=0$ :
$m^2(1+B^2)+m(2(AB-x_1))+(x_1^2+A^2-R^2)=0$
kořeny rovnice (po trošce úprav):

$m_{1,2}=\frac{x_1-AB\pm \sqrt{(AB-x_1)^2-(1+B^2)(x_1^2+A^2-R^2)}}{1+B^2}$
co jsou A, B - to máte v předchozím textu.
Tak dostanete 2 hodnoty m, k tomu dopočtete 2 hodnoty n dle:
$n=\frac{x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2}{2(y_1-y_2)}-m\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}$ .

Zkuste, prosím, prozkoušet, pokud zadáte body na "známé kružnici", zda ve vzorcích pro střed není nějaký překlep.

Tak budete mít 2 středy kružnic. Společně s body okrajů úsečky máte každou kružnici přesně "ustavenou" v souřadnicovém systému. Dopočet souřadnic bodů na oblouku (ze soustavy příspěvku 2 bych Vám za nějaký čas doplnila). Ono na celém tom matematickém výpočtu není nic, co by překročilo 2. ročník SŠ, ale je to trošku nepřehledné přes různé indexy apod.

Teď ještě domyslet, jak spojit se směrem nájezdu frézy - já si to přestavuji tak střed kružnice je blíž ke středu souřadnic, než bod na oblouku, potom fréza najíždí "zvenku-z dálky" na oblouk (vnější útok). Naopak střed kružnice je dál od středu souřadnic, než bod na oblouku, potom fréza najíždí k oblouku od středu souřadnic (týlový útok).

Zkuste si vystřihnout kruhy na papír a tak posouvat, potom řeknete, prosím, co ještě popsat. Děkuji.

Martass · 10. 03. 2013 12:00

Děkuji, vyzkouším,ale bude mi to trvat delší dobu....

Ono na celém tom matematickém výpočtu není nic, co by překročilo 2. ročník SŠ

jsem zřejmě chyběl hodně let ve škole,asi jsem skončil s vývojem ve 3.třídě ZŠ!!

Jenom se ještě zeptám u rovnice
$m_{1,2}=\frac{x_1-AB\pm \sqrt{(AB-x_1)^2-(1+B^2)(x_1^2+A^2-R^2)}}{1+B^2}$
,tak pro m1 dosadím hodnoty x1 pro m2 dosadím hodnoty x2,je tak?
Ovšem u stejné rovnice je $x_{1}-AB\pm .....$ mate mě tam to $\pm$ ,kdy použiji + a kdy -

jelena · 10. 03. 2013 12:31

↑ Martass:

:-) spíš v ušetřeném času jste se naučil frézovat, vyrábět k tomu programy, smažit řízky a spoustu dalších dovedností (a na kvadratické rovnice jste jen pozapomněl). Ohledně "nenáročnosti řešení" jsem napsala jen z důvodu, aby to nevypadalo, že dokáži něco mimořádného, to určitě ne, jen kvadratické rovnice soustavně procvičuji :-)

Zápis $m_{1, 2}$ se vztahuje jen k výsledku po použití + nebo - místo +/-, vždy budete dosazovat $x_1$ ,
tedy $m_{1}=\frac{x_1-AB+ \sqrt{(AB-x_1)^2-(1+B^2)(x_1^2+A^2-R^2)}}{1+B^2}$
$m_{2}=\frac{x_1-AB- \sqrt{(AB-x_1)^2-(1+B^2)(x_1^2+A^2-R^2)}}{1+B^2}$

To jsou 2 různé hodnoty x-souřadnice středů kružnic. Ke každému m dopočtete jeho n, potom máte střed S(m, n).

Já se omlouvám, že vzorec jsem neprozkoušela alespoň ve WA (předchozí odvození prozkoušeno), případně se ozvete, zda funguje.

Martass · 10. 03. 2013 13:02

Děkuji za upřesnění.
Řízky bych ani raději nepřipomínal,ale včera jsem stihal dělat u toho i žemlovku a nic se nepřipeklo,
takže alespoň nějaký pokrok!!!
Trochu a narychlo jsem to otestoval,zatím mi z toho lezou nějaké bludy(musím vzít pořádně velký papír),
ale zřejmě bude chyba u toho kdo sedí na té mé židli......
Teď musím opět pryč,až se vrátím tak mu rázně domluvím,aby to spočítal pořádně...!!
Zatím děkuji a přeji příjemnou neděli.

jelena · 10. 03. 2013 20:25

↑ Martass:

:-) žemlovku to je pěkné (preferuji z vánočky a z loupáků, než z rohlíků :-) To já jsem v minulém týdnu podle doporučení Hodné dcery dělala medovník s krémem obsahujícím k běžnému složení pudink - a nebylo to moc dobré, moc mokré, už to tak dělat nebudu :-) Jinak mám splněno 2+1 složky.

Zpět k fréze. Překontrolovala jsem vzorec pro $m$ v EXCELu, řekla bych, že v pořádku. Tak bych tedy dovyjadřovala souřadnice na oblouku (v nějakém rozumném čase).

Martass · 10. 03. 2013 20:34

tak pokračuji,ale nějak se mi nedaří?
mám výkres: úmyslně jednoduchý příklad

začnu výpočtem A,B
$A=\frac{y_1-y_2}{2}-\frac{x_1^2-x_2^2}{2(y_1-y_2)}$
$A=\frac{50-150}{2}-\frac{150^{2}-50^{2}}{2(50-150)}=\frac{-100}{2}-\frac{20000}{-200}=-50-(-100)=50$

$B=\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}$
$B=\frac{150-50}{50-150}=\frac{100}{-100}=-1$ mám to dobře alespoň potud?

protože když dosazuji A,B v další rovnici $m_{1,2}=....$ ,tak mám výsledek šílený čísla - desetitisíce!!!
Ten dělitel (resp.B) je hrozně malá hodnota pro dělitel??
Tak se chci ujistit zda to vyplňuji vůbec správně(samozřejmě s vědomím,že mocnina záporného čísla je číslo kladné)

$m_{1,2}=\frac{x_1-AB\pm \sqrt{(AB-x_1)^2-(1+B^2)(x_1^2+A^2-R^2)}}{1+B^2}$
$m_{1,2}=\frac{150-(50(-1))\pm \sqrt{((50(-1))-150)^{2}-(1+(-1^{2}))}(150^{2}+50^{2}-100^{2})}{1+(-1^{2})}$

jelena · 10. 03. 2013 20:52

Děkuji, chtělo by to důslednější závorky u zápisu (-1)^2, jinak jsem vložila Váš zápis do WA - je to v pořádku, zkuste na poměnit (+/-), kde patří.

Nepoužíváte nějaký tabulkový program, jako EXCEL, CALC? Bylo by pohodlněji.

Martass · 10. 03. 2013 21:45

↑ jelena:
Aha,mám tak trošku přezávorkováno,že?
Takže postup mám v pořádku..uff,jen je problém opět na židli,to je ta 3.třída ZŠ.
Když pro mě je vyhovující při zkoušení napřed papír,přijde mi to v první fázi
přehlednější(i přes možné chyby)a trocha si oživím ZŠ.
No nic,budu pokračovat
Děkuji a když nevyšlo to ráno,tak alespoň snad příjemný večer a dobrou noc!!!

jelena · 10. 03. 2013 23:15

↑ Martass:

děkuji za přání, spíš nedozávorkováno, jelikož (-1^2)=-1, ale (-1)^2=1.

Ještě doplním vyjádření pro souřadnice bodů na oblouku: řešíme soustavu z 2. příspěvku:

$(x_1-x_2)x+(y_1-y_2)y-((x_1-x_2)m+(y_1-y_2)n)=0$
$(x-m)^2+(y-n)^2=R^2$
--------------------------------
z (1) rovnice vyjádřím y: $y=\frac{(x_1-x_2)m+(y_1-y_2)n-(x_1-x_2)x}{y_1-y_2}$
po úpravě: $y=\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}m+n-\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}x$ a opět použijeme záměnu $B$ :
$y=Bm+n-Bx$ a dosadíme do rovnice kružnice: $(x-m)^2+(Bm+n-Bx-n)^2=R^2$ , po úpravě: $(x-m)^2+B^2(x-m)^2=R^2$ , odkud máme:
$x_{1, 2}=\pm \sqrt{\frac{R^2}{1+B^2}}+m$

Zde 1, 2 u x značí dva možné body na obloucích, jak jsme diskutovali (na velkem a na malém).
Potom výsledné x dosadíte do rovnice: $y=Bm+n-Bx$ (opět máme 2 hodnoty y - po jednom ke každému x).

jen nezapomenout, když budete dosazovat m, n, x, y, že musí k sobě patřit střed, kružnice a body na kružnici (nejlépe do tabulky), ať se nezamíchá :-)

Pohodový týden a zdárné dokončení (nájezdy frézy) přeji.

Martass

Ááá,já přehlédl jeden Váš příspěvek ohledně pečení,no já jsem na tom s kuchyní asi jako s rovnicema,
takže ani v tomto nemohu konkurovat.....

A teď zase ty "naše vaše" rovnice
Tak to vypadá hóódně dobře(chyba byla na mojem přijímači,jak jinak),zatím jsem vyzkoušel pár příkladů
pouze v tom jednom kvadrantu a tam je to OK,jste šikulka!
Až se Vám to bude hodit můžeme pokračovat
Zatím mnohokráte děkuji

doplněno: píšeme příspěvky pomalu ve stejný čas ,tak tam mám od Vás koukám další

doplněno2: zkouknu a pokusím rozluštit

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2013 16:32

střed oblouku

#2 08. 03. 2013 21:31

Re: střed oblouku

#3 08. 03. 2013 22:44

Re: střed oblouku

#4 08. 03. 2013 23:52

Re: střed oblouku

#5 09. 03. 2013 00:44 — Editoval Martass (09. 03. 2013 08:32)

Re: střed oblouku

#6 09. 03. 2013 10:53

Re: střed oblouku

#7 09. 03. 2013 11:50 — Editoval Martass (09. 03. 2013 11:52)

Re: střed oblouku

#8 09. 03. 2013 13:23

Re: střed oblouku

#9 09. 03. 2013 14:27

Re: střed oblouku

#10 09. 03. 2013 16:18

Re: střed oblouku

#11 09. 03. 2013 18:21 — Editoval Martass (09. 03. 2013 18:52)

Re: střed oblouku

#12 09. 03. 2013 19:33

Re: střed oblouku

#13 09. 03. 2013 20:53 — Editoval Martass (09. 03. 2013 21:02)

Re: střed oblouku

#14 10. 03. 2013 00:30

Re: střed oblouku

#15 10. 03. 2013 08:54

Re: střed oblouku

#16 10. 03. 2013 10:40

Re: střed oblouku

#17 10. 03. 2013 12:00

Re: střed oblouku

#18 10. 03. 2013 12:31

Re: střed oblouku

#19 10. 03. 2013 13:02

Re: střed oblouku

#20 10. 03. 2013 20:25

Re: střed oblouku

#21 10. 03. 2013 20:34

Re: střed oblouku

#22 10. 03. 2013 20:52

Re: střed oblouku

#23 10. 03. 2013 21:45

Re: střed oblouku

#24 10. 03. 2013 23:15

Re: střed oblouku

#25 10. 03. 2013 23:20 — Editoval Martass (10. 03. 2013 23:27)

Re: střed oblouku

Zápatí