Matematické Fórum

jarrro · 10. 03. 2013 10:44 — Editoval jarrro (10. 03. 2013 10:45)

ahoj
musia vždy existovať nejaké riešenia diferenciálnych rovníc
$y^{\prime}=f{$x,y$}$
a
$y^{\prime}=\frac{1}{f{$y,x$}}$
(efy sú v oboch prípadoch tie isté)
a interval tak, že na tom intervale sú tie riešenia navzájom inverzné funkcie?
podľa mňa ak tie rovnice majú zmysel (nevyskytuje sa delenie nulou a podobné matematické nezmysly) a riešenie na nejakom spoločnom intervale
tak áno,lebo
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f{$x,y$}\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{f{$x,y$}}$
teda máme diferenciálnu rovnicu pre funkciu x premennej y preznačením y a x dostaneme druhú rovnicu
je niekde nejaký zádrheľ
?

martisek

↑ jarrro:

Podle mě ne, protože třeba pro f(x,y)=x dostaneme

$y^{\prime}=f{$x,y$}\Rightarrow y^{\prime}=x \Rightarrow y=\frac {x^2} {2}+C$

$y^{\prime}=\frac 1 {f{$x,y$}} \Rightarrow y^{\prime}=\frac 1 x \Rightarrow y=\ln x+C$

což invezní rozhodně není.

jarrro · 10. 03. 2013 19:35

↑ martisek:všimni si tie prehodené argumenty

martisek · 10. 03. 2013 23:08

↑ jarrro:

Tak toho jsem si opravdu nevšiml, ale ani tak se mi to nezdá. Vezměme

$y^{\prime}=x+y$

Řešením je např. $y=e^x-x-1$ , inverze je $x=e^y-y-1$ , dosazeno do

$y^{\prime}=\frac{1}{f{$y,x$}}$

dává

$y^{\prime}=\frac{1}{e^y-1}$

což mi jako identita rozhodně nepřipadá.

jarrro · 11. 03. 2013 07:34 — Editoval jarrro (11. 03. 2013 07:41)

↑ martisek:inverzné riešenie dáva $y^{\prime}=\frac{1}{y+x}$
funkcia
$y=e^x-x-1$
nemá elementárnu inverznú je vyjadriteľná len pomocou Lambertovej funkcie
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% … 28y%2Bx%29

pf · 11. 03. 2013 09:44

martisek napsal(a):
... inverze je $x=e^y-y-1$ ,...
...
dává
$y^{\prime}=\frac{1}{e^y-1}$
což mi jako identita rozhodně nepřipadá.

Jak to že ne? Funkce $y(x)$ daná implicitně rovnicí $x=e^y-y-1$ splňuje $y'=\frac{1}{e^y-1}$ .

martisek · 11. 03. 2013 12:17

↑ jarrro: ↑ pf:

Vidím, že mi to včera s blížící se půlnocí už nějak nemyslelo. Teď nad jsem nad tím znovu zapřemýšlel a musím uznat, že to vypadá logicky. Navíc by "přechod k inverzní funkci" mohl být zajímavou metodou řešení některých typů rovnic 1. řádu.

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2013 10:44 — Editoval jarrro (10. 03. 2013 10:45)

inverzné riešenia diferenciálnych rovníc

#2 10. 03. 2013 15:43 — Editoval martisek (10. 03. 2013 15:43)

Re: inverzné riešenia diferenciálnych rovníc

#3 10. 03. 2013 19:35

Re: inverzné riešenia diferenciálnych rovníc

#4 10. 03. 2013 23:08

Re: inverzné riešenia diferenciálnych rovníc

#5 11. 03. 2013 07:34 — Editoval jarrro (11. 03. 2013 07:41)

Re: inverzné riešenia diferenciálnych rovníc

#6 11. 03. 2013 09:44

Re: inverzné riešenia diferenciálnych rovníc

martisek napsal(a):

#7 11. 03. 2013 12:17

Re: inverzné riešenia diferenciálnych rovníc

#8 05. 04. 2013 10:24 Příspěvek uživatele OiBobik byl skryt uživatelem OiBobik. Důvod: chybka

Zápatí