Matematické Fórum

Bulish · 10. 03. 2013 11:09

Mám tu problém se kterým si nějak nevím rady, planimetrie mi nikdy nešla.
Co znám, je kružnice vepsaná trojúhelníku ABC, která je rozdělená přímkami AS, BS a CS (kde S je střed kružnice vepsané) na 3 výseče s úhly 112°, 122° a 126°.
Co mám zjistit, jsou vnitřní úhly v trojúhleníku.

Pomůže prosím někdo? :(

Arabela · 10. 03. 2013 11:47

Ahoj ↑ Bulish:,
ako vieme, stred kružnice vpísanej leží na priesečníku osí uhlov. Označme si na obrázku veľkosti uhlov SAB, SAC ako $\frac{\alpha }{2}$ , veľkosti uhlov SBA, SBC ako $\frac{\beta }{2}$ a veľkosti uhlov SCB, SCA ako $\frac{\gamma }{2}$ .
Platí:
$\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}+112^\circ =180^\circ$
$\frac{\beta }{2}+\frac{\gamma }{2}+122^\circ =180^\circ$
$\frac{\gamma }{2}+\frac{\alpha }{2}+126^\circ =180^\circ$
po úprave
$\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}=68^\circ$
$\frac{\beta }{2}+\frac{\gamma }{2}=58^\circ$
$\frac{\gamma }{2}+\frac{\alpha }{2}=54^\circ$
Odpočítaním druhej rovnice od prvej a tretej od druhej dostávame:
$\alpha -\gamma =20^\circ$
$\beta -\alpha =8^\circ$
Takže
$\alpha =\gamma +20^\circ$
$\beta =\gamma +28^\circ$
a keďže
$\alpha +\beta +\gamma =180^\circ$
vyjde $\gamma =44^\circ$ ,
následne $\beta =72^\circ$ a $\alpha =64^\circ$ .

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2013 11:09

Planimetrie - kružnice vepsaná

#2 10. 03. 2013 11:36 Příspěvek uživatele Freedy byl skryt uživatelem Freedy. Důvod: chyba

#3 10. 03. 2013 11:47

Re: Planimetrie - kružnice vepsaná

Zápatí