Matematické Fórum

Pav.Got. · 10. 03. 2013 15:38

Dobrý den, chtela by jsem Vas poprosit o pomoc při řešení tohoto důkazu:
$||u|_{e}-|v|_{e}|\le |u-v|_{e} , kde \forall u,v\in R^{n}$ a označení $|u|_{e}$ označuje eklidovskou normu ( koukala jsem, ze v literaturach je to ruzné)

Dekuji kazdému

martisek · 10. 03. 2013 15:52

↑ Pav.Got.:

$||u|_{e}-|v|_{e}|\ =\sqrt {\sum_i \left( u_i-v_i\right) ^2} = \sqrt {\sum_i \left( u_i^2-2u_iv_i+v_i^2\right) }=...$

Pav.Got. · 10. 03. 2013 16:10

↑ martisek:
Dekuji ... ale bohuzel nevim co s tim dale ... a hlavne ani nechapu, jak je mozne, že $||u|_{e}-|v|_{e}|$ se rovna ty odmocnine... vzdyt tam mam dve normy, to je mohu napsat jako $||u-v|_{e}|$ ? A k cemu mi tam pak je ta absolutní hodnota ?

martisek · 10. 03. 2013 16:37

↑ Pav.Got.:

Začal jsem špatně (umazal jsem špatnou část :-) - začnu lépe, možná to bude jasnější. Mělo to být takto

$|u-v|_{e} =\sqrt {\sum_i \left( u_i-v_i\right) ^2} = \sqrt {\sum_i \left( u_i^2-2u_iv_i+v_i^2\right) }=...$

Dále se suma pod odmocninou rozdělí na tři a je třeba, aby zmizel ten záporný člen (tedy zmizel doslova a do písmene). Zmizet může, když... (a důkaz je hotov).

Absolutní hodnota v $||u-v|_{e}|$ je k ničemu (taky jsem ji zde vynechal) - norma sama o sobě nemůže být záporná. Ve výrazu $||u|_{e}-|v|_{e}|$ už zbytečná není. Norma u ani norma v sice záporná být nemůže, ale rozdíl dvou norem už ano.

Pav.Got.

↑ martisek:

bohužel jasnější mi to stále není :(

ja jsem napíšu to, co jsem dělala já
$|u-v|_{e}= |u-v|_{e}^{2}=<u,u,>-2<u-v>+<v,v>=|u|_{e}^{2}-2<u,v>+|v|_{e}^{2}$ zde vyuziji Cauchyho Schwarzovu nerovnost tak, že mam $[u-v]_{e}\le |e|_{e}^{2}-2|u|_{e}|v|_{e}+|v|_{e}^{2}\le (|u|_{e}-|v|_{e})^{2}\le |u|_{e}-|v|_{e}$

Jenže jsem nedokazala vubec tu levou cast :(

martisek · 10. 03. 2013 17:34

↑ Pav.Got.:

Hned toto

$|u-v|_{e}= |u-v|_{e}^{2}....$

je špatně - přece není třeba $2=2^2...$

Ale když se tam dopíše ta odmocnina:

$[u-v]_{e} = \sqrt {|e|_{e}^{2}-2|u|_{e}|v|_{e}+|v|_{e}^{2}}... Cauchy-Bun \le ...$

tak je to v pořádku (je to vlastně totéž, jak jsem začal já, jenom jsem to měl rozepsáno do složek) a vyjde to. Takže máte

$|u-v|_{e} ....\le |u|_{e}-|v|_{e}$

Jakou další "levou část" chcete dokazovat?

Pav.Got. · 10. 03. 2013 17:43

↑ martisek:

Ajo, na tu odmocninu jsem zapomnela :( ... ale to preci není celý důkaz, nebo snad ano ? Ja jsem přeci dokázala : $|u-v|_{e}\le |u|_{e}-|v|_{e}$ , přičemž jsem měla ale dokazovat : $||u|_{e}-|v|_{e}|\le |u-v|_{e}$
Jsem z toho zmatena :( :D

martisek · 10. 03. 2013 19:12

↑ Pav.Got.:

Je to skoro dobře, jenom to nerovnítko je obráceně: Až do použití Cauchy-Bun nerovnosti jsou samá rovnítka. C-B nerovnost je /uv/<=/u//v/, ale pod tou odmocninou je -/uv/: odčítáme tedy menší hodnotu než /u//v/ takže výraz s -2/uv/ je větší než výraz s 2/u//v/..

vanok · 10. 03. 2013 19:17

Pozdravujem,

Poznamka: Trochu iny pristup na hladany dokaz.
Pisem ho tu dost schematicky, ale dufam, ze ti to postaci.
Iste v prvych vlasnostiach ste dokazali, ze tvoja norma splnuje trojuholnikovu nerovnost ( na jej dokaz sa moze pouzit Schwaz-ova nerovnost) :
$N(x+y) \le N(x)+N(y)$ ,pre vsetky vektory x, y tvojho priestoru. ( pozor pisem N pre normu )
To da okamzite: $N((u-v)+v) \le N(u-v) +N(v)$
a po malej uvahe dostanes hladanu nerovnost.

martisek · 10. 03. 2013 19:35

↑ vanok:

Trojúhelníková nerovnost mě napadla první, jenže jsem se snažil dosadit přímo -v místo +v, což nikam nevedlo, a tak jsem to opustil. Toto mě nenapadlo a je to moc pěkné :-)

vanok · 10. 03. 2013 20:22

↑ martisek:
Iste sa to da dokazat aj priamo, ale moja lenivost (a daleke spomienky) ma doviedli k co najkratciemu dokazu.
Inac ↑ Pav.Got.: tato nerovnost je uzitocna na dokaz spojitosti takejto normy.

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2013 15:38

Euklidovska norma - dukaz

#2 10. 03. 2013 15:52

Re: Euklidovska norma - dukaz

#3 10. 03. 2013 16:10

Re: Euklidovska norma - dukaz

#4 10. 03. 2013 16:37

Re: Euklidovska norma - dukaz

#5 10. 03. 2013 16:59 — Editoval Pav.Got. (10. 03. 2013 17:01)

Re: Euklidovska norma - dukaz

#6 10. 03. 2013 17:34

Re: Euklidovska norma - dukaz

#7 10. 03. 2013 17:43

Re: Euklidovska norma - dukaz

#8 10. 03. 2013 19:12

Re: Euklidovska norma - dukaz

#9 10. 03. 2013 19:17

Re: Euklidovska norma - dukaz

#10 10. 03. 2013 19:35

Re: Euklidovska norma - dukaz

#11 10. 03. 2013 20:22

Re: Euklidovska norma - dukaz

Zápatí