Matematické Fórum

Esunes · 07. 01. 2009 14:56

Dobry den,
Chcel by som sa spytat ci nahodou niekto nepozna dôkaz na vzorec poctu permutacii s opakovanim, tj. ze plati $P*(m_1,m_2..m_k)=\frac{n!}{m_1! \cdot m_2! \cdots m_k!}$ . Dakujem

musixx · 07. 01. 2009 15:34 — Editoval musixx (07. 01. 2009 15:38)

↑ Esunes: Pod prvky, kterych je $m_1$ , si predstavme treba jabka, pod prvky, kterych je $m_2$ treba hrusky, atd. Ted na chvilku na kazde jabko nalepme unikatni stitek, na kazdou hrusku take, atd.

Kolik je ted permutaci tech unikatnich stitku? No $n!=(m_1+m_2+\cdots+m_k)!$ .

No a ted uvazme, ze je nam jedno vramci jablek, jake ma ktere stitek - tedy onech $m_1$ jablek muzeme $m_1!$ zpusoby preskladat a porad to bude stejne poradi jablek. Stejne tak muzeme $m_2!$ zpusoby preskladavat hrusky, atd. Vzdy vytvorime jinou permutaci, pokud uvazuji ty stitky, ale porad stejnou, uvazuji-li to bez stitku (pouze jabka, hrusky, atd). Nic jsem nezapocital dvakrat.

Proto je permutaci s opakovanim $\frac{(m_1+m_2+\cdots+m_k)!}{m_1!\cdot m_2!\cdot\ \cdots\ \cdot m_k!}$ .

Chces-li byt vice formalni, nahrad jabka a hrusky mnozinami, stitky nejakymi indexy podle nejakeho usporadani. Ale idea je porad tataz. Staci?

Esunes · 07. 01. 2009 18:16

Dakujem musixx, ale potrebujem to napisat formalne.. O nieco som sa pokusil, tak ma pls oprav ak su tam nejake chyby + niektore veci neviem matematicky zapisat:

Dôkaz: Zadefinujme si mnoziny $M_1$ až $M_j$ , pricom pocet prvkov tychto mnozin budeme oznacovat symbolmi $m_1..j$ . Dalej je dana mnozina $M_n$ , ktorej pocet prvkov oznacime pismenom n.
Dalej plati:
1. $M_n = M_1+M_2..Mj \rightarrow n = m_1+m_2..m_j$ //tu by malo este byt zapisane ze mnoziny M1 az Mj nemaju ziadny prienik, ale neviem ako to zapisat matematicky
2. $\forall x \in M_1 ..M_j: x_1=x_2 ..x_m$ //tu som sa snazil povedat ze v ramci jednotlivych mnozin M1 az Mj su vsetky prvky rovnake
Keby sme poctom permutacii mnoziny Mn mysleli P(n)=n!, zapocitali by sme aj permutacie v ramci mnozin M1 az Mj. Kedze su prvky v ramci tychto mnozin rovnake, zaratali by sme aj rovnake permutacie, pre kazdu mnozinu prave P(M1..Mj) krat. Z toho vyplyva: $P*(n)\frac{P(n)}{P(m1)*P(m2)..P(mj)}=\frac{n!}{m1!*m2!..mj!}$

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2009 14:56

Dôkaz na permutacie s opakovanim

#2 07. 01. 2009 15:34 — Editoval musixx (07. 01. 2009 15:38)

Re: Dôkaz na permutacie s opakovanim

#3 07. 01. 2009 18:16

Re: Dôkaz na permutacie s opakovanim

Zápatí