Matematické Fórum

chaotic123 · 17. 03. 2013 08:39

Prosím vás, moc bych potřeboval poradit s obecným řešením této diferenční rovnice, je jednoduchá na výpočet, jen v tom obecném vzorci to mám 50/50 :(.

Postupnými iteracemi nalezněte řešení diferenční rovnice prvního řádu

$y(n+1)-\alpha y(n)=0$

Počáteční podmínka: $y(0)=B$

--------------------------------------

Řešení:

pro n=0
$y(1)=\alpha B$

pro n=1
$y(2)=\alpha^{2} B$

pro n=2
$y(3)=\alpha^{3} B$

atd...
-------------------------------------

Teď nastává to zobecnění, na to se vás ptám a prosím o pomoc. Mám v podstatě dva návrhy.

1.
$y(n)=\alpha ^{n}B$

2.
$y(n)=\alpha ^{n+1}B$

Shledávám právě rozpor v tom, že když dosadím např. za n=3, pak je to $y(4)=\alpha ^{4}B$ .
-------------------------------------
Samozřejmě závěr je jasný. Exponenciální růst nastává pro $\alpha >1$ , exponenciální pokles pro $\alpha (0,1)$ .

Předem děkuji všem diskutujícím za pomoc!

Rumburak

↑ chaotic123:

Ta druhá možnost $y(n)=\alpha ^{n+1}B$ je pro obecný případ špatně, protože volbou $n=0$ vychází $y(0)=\alpha^1 B$ ,
což podle poč. podmínky dává rovnici $B=\alpha^1 B$ , která může být splněna jen ve speciálních případech $\alpha = 1$ nebo
$B =0$ , takže nejde o obecné řešení.

Obecným řešením je tedy pouze $y(n)=\alpha ^{n}B$ (z cvičných důvodů si to můžeš dokázat úplnou indukcí), v němž případy
$\alpha = 1$ , $B =0$ jsou rovněž zahrnuty.

Ještě poznámka:
O obecnném řešení diferenční rovnice se obvykle hovoří tehdy, když takovou rovnici řešíme BEZ DALŠÍCH PODMÍNEK
(například počátečních). Ale je-li počáteční podmínka dána obeceně jako zde, je to v podstatě totéž, jako kdyby dána nebyla,
a proto i zde můžeme mluvit o obecném řešení.

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2013 08:39

Obecné řešení diferenční rovnice - metodou iterace

#2 18. 03. 2013 09:17 — Editoval Rumburak (18. 03. 2013 09:35)

Re: Obecné řešení diferenční rovnice - metodou iterace

Zápatí