Matematické Fórum

Pav.Got. · 17. 03. 2013 14:21

Dobrý den, chtěla by jsem vás poprosit o radu při řešení toho to důkazu:
Předpokládejme, že $A\subseteq \mathbb{R}$ je neprázdná a uzavřená množina. Ukažte, že je-li množina A shora omezená, potom $sup A\in A$ a je-li zdola omezena, potom $inf A\in A$ .

Kazdému děkuji za jakoukoliv pomoc.

Andrejka3

Dobrý den.
třeba sporem: předpokládej, že $\sup A=:s \notin A$ . (každá shora omezená podmnožina v R má supremum).
Je problém sestrojit podloupnost z $A$ , která bude konvergovat k $s$ ?
Pokud ji sestrojíš, umíš pak argumentovat, proč je to spor s uzavřeností $A$ ?

edit: malé písmenko. Druhé tvrzení je `duální' k tomu prvnímu.

Rumburak · 18. 03. 2013 09:01

↑ Pav.Got.:

Zdravím v tématu.

Možný je i další postup: Je-li $\sup A=:s \notin A$ , potom $s$ je prvkem množiny $\mathbb{R}-A$ , která je OTEVŘENÁ,
takže s každým svým bodem (a tudíž také s bodem $s$ ) obsahuje i některé jeho okolí. Odtud snad budeš umět
odvodit spor s definicí suprema.

Andrejka3 · 18. 03. 2013 14:03

↑ Rumburak:
Zdravím.
To byla druhá cesta, kterou jsem chtěla navrhnout poté, co se tazatel ozve.

Rumburak · 18. 03. 2013 15:31

↑ Andrejka3:

Tak promiň :-) , o tomto plánu jsem nevěděl. ...

Andrejka3 · 18. 03. 2013 15:33

↑ Rumburak:
:D Další verzi důkazu už ale nemám.

Rumburak

↑ Andrejka3:

Doufám, že Tě teď moc nenamíchnu :-) :

Šlo by ukázat, že každé okolí bodu $s :=\sup A$ obsahuje jak některý bod množiny $\mathbb{R}-A$ (protože
$s$ je horní závora množiny $A$ ) , tak i některý bod množiny $A$ (protože $s$ je NEJMENŠÍ h. z. mn. $A$ ),
tudíž $s$ je prvkem hranice množiny $A$ a tedy i uzávěru množiny $A$ .

Ale připadá mi, že je to jen o technice, bez nových myšlenek.

Pav.Got. · 18. 03. 2013 16:47

↑ Rumburak:
Všem moc děkuji . Je mi to z vašich příspěvcích jasné.

Pav.Got. · 18. 03. 2013 17:22

↑ Pav.Got.:
Jen me ještě napadlo, pročpak nemohu jenom dokazovat Supremum a Infimum? Že by jsem si v množině A (shora omezena mnozina) vytvořila -A ( zdola omezená množina). Je-li B nějaka horní závora množiny A, pak -B by byla dolní závora množiny -A. Tudíž existuje infimum (-A)=I(infimum). Položime si S(supremum)=-I a ukazala by jsem , že S je supremum množiny A. A tak dále....

Rumburak

↑ Pav.Got.:

Ano, jde o správný postřeh.

Ale abych jen nechválil : :-) tu formulaci by chtělo na některých místech ještě poněkud vybrousit.

Pav.Got. · 18. 03. 2013 17:42

↑ Rumburak:
No, takže to nemusím dokazovat zádnym dukazem sporem ? To nemusim dokazovat ze ta mnozina A je jeste uzavrena ? ... jsem zmatena :(

Brano · 18. 03. 2013 17:59 — Editoval Brano (18. 03. 2013 18:00)

Ta uzavretost je podstatna ako predpoklad, lebo napr.
$\sup (0,1)=1\not\in(0,1)$
$\inf (0,1)=0\not\in(0,1)$

Pav.Got. · 18. 03. 2013 18:15

↑ Brano:
Takže moje myšlenka je špatně? Raději to sem napísu celé
V množině A (shora omezena mnozina) si vytvořim -A ( zdola omezená množina). Je-li B nějaka horní závora množiny A, pak -B by byla dolní závora množiny -A. Tudíž existuje infimum (-A)=I(infimum). Položime si S(supremum)=-I a ukazu, ze S je supremum mnoziny A.
Je-li $x\in A$ pak $-x\in -A$ a tedy $I\le x$ podle první vlastnosti infima. Odtud ovšem $x\le -I=S$ tudiz, první vlastnost suprema je dokazana.
Zvolne nyní libovolné S´, S´<S Pak $-S>-S=I$ a podle druhé vlastnosti infima existuje $y\in -A$ splnující y<-S´. K číslu $y\in -A$ existuje $x\in A$ pro které platí $-x=y$ a tedy x=-y>S´ Tudíz druhá podmínka z definice suprema je taky splněna.

Brano · 18. 03. 2013 18:44 — Editoval Brano (18. 03. 2013 19:25)

To co si napisala je dokaz toho, ze $\sup A=-\inf(-A)$ (co je fajn - zbavis sa dokazavania jedneho z dvoch tvrdeni) ale ty este potrebujes dokazat, ze $\sup A\in A$ a na to potrebujes vyuzit uzavretost $A$ , tak ako ti uz radili.

Pav.Got. · 18. 03. 2013 18:48

↑ Brano:
Dobře, děkuji.

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2013 14:21

Supremum a Infimum

#2 17. 03. 2013 16:44 — Editoval Andrejka3 (17. 03. 2013 16:45)

Re: Supremum a Infimum

#3 18. 03. 2013 09:01

Re: Supremum a Infimum

#4 18. 03. 2013 14:03

Re: Supremum a Infimum

#5 18. 03. 2013 15:31

Re: Supremum a Infimum

#6 18. 03. 2013 15:33

Re: Supremum a Infimum

#7 18. 03. 2013 15:57 — Editoval Rumburak (18. 03. 2013 15:58)

Re: Supremum a Infimum

#8 18. 03. 2013 16:47

Re: Supremum a Infimum

#9 18. 03. 2013 17:22

Re: Supremum a Infimum

#10 18. 03. 2013 17:34 — Editoval Rumburak (18. 03. 2013 17:38)

Re: Supremum a Infimum

#11 18. 03. 2013 17:42

Re: Supremum a Infimum

#12 18. 03. 2013 17:59 — Editoval Brano (18. 03. 2013 18:00)

Re: Supremum a Infimum

#13 18. 03. 2013 18:15

Re: Supremum a Infimum

#14 18. 03. 2013 18:44 — Editoval Brano (18. 03. 2013 19:25)

Re: Supremum a Infimum

#15 18. 03. 2013 18:48

Re: Supremum a Infimum

Zápatí