Matematické Fórum

Disi77 · 17. 03. 2013 15:56

ahoj, prosím o pomoc s následujícím příkladem. Snažila jsem se najít nějaký podobný všude možně, ale asi neumím hledat. Všude je to vysvětlené jen na funkci y=ax + b a já si nevím rady, jak to upravit pro x2.

díky díky díky :)

MirekH · 17. 03. 2013 17:22

Ahoj, nejsem nejspíš ten nejpovolanější, ale postupoval bych asi takto:

Použití metody nejmenších čtverců nám říká, že máme minimalizovat výraz

$\sum (f(x_i) - y_i)^2$ ,

v zadání je obecný tvar regresní funkce $f(x) = ax^2 + b$ , takže po dosazení

$\sum (ax_i^2 + b - y_i)^2$ .

Aby se jednalo o minimum, musí platit vztahy

$\frac{\partial S}{\partial a} = 2 \sum (ax_i^2 + b - y_i) \cdot x_i^2 = 0$ ,
$\frac{\partial S}{\partial b} = 2 \sum (ax_i^2 + b - y_i) = 0$ .

Tyto rovnice můžeme ještě upravit do tvaru

$a \sum x_i^4 + b \sum x_i^2 = \sum x_i^2 y_i$ ,
$a \sum x_i^2 + nb = \sum y_i$ .

Dosazením zadaných hodnot už lze vypočítat koeficienty a, b. Vyšla mi regresní funkce $f(x) = 0,963x^2 + 1,401$ . Koeficient determinace nic moc, $r^2 \doteq 0,89$ . To je způsobeno tím, že zadaná data jsou na pohled spíše lineární. Podle Excelu je sice kvadratická funkce o něco lepší než lineární, ale Excel nevynechává lineární člen, takže mu vychází konkávní parabola $y = -0,337x^2 + 2,925x + 0,133$ s koeficientem 0,97.

Nikdy dřív jsem ale kvadratickou regresi nepočítal, takže radši počkej ještě na odpovědi od dalších členů fóra. Taky nevím, co se myslí těmi požadovanými sloupci a součty.