Matematické Fórum

American_pie · 17. 03. 2013 18:43

Dobry večer, prosím Vás, vedeli by ste mi nekdo poradit jak spocitat nasledujici ulohu?

Ukazte, ze evolventa cykloidy je opet cykloida.

dakujem

Brano · 18. 03. 2013 00:55

Ta evolventa nie je uplne jednoznacne zadana, ale berme to tak, ze uvazujeme taku, ze ked ten spagatik bude tak dlhy, ze ked ho prichitime v jednom zo spicov, tak dosiahne akurat po vrchol, tak ako je to tu.

Cize mame
$x(t)=a(t-\sin t)$
$y(t)=a(1-\cos t)$
teda
$dx=a(1-\cos t)dt$
$dy=a\sin t\,dt$
a teda $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=2a\sin(t/2)dt$ - tu uvazujem iba $t\in[0,\pi]$ cize iba prvy polobluk (zvysok si treba potom dotuknut)
cize dlzka obluka od zaciatku po bod urceny $t$ je
$s(t)=\int_0^tds=4a[1-\cos(t/2)]$ a teda $s(\pi)=4a$ co musi byt dlzka spagatika. Takze ak sme v bode
$(x(t),y(t))$ tak nam ostava zo spagatika este $l(t)=4a-s(t)=4a\cos(t/2)$ a v tomto bode mame jednotkovy smerovy uhol dotycnice rovny
$(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds})$ (tu v podstate myslim podiel tych diferencialov, ale ked je to aj derivacia) cize
$(\sin(t/2),\cos(t/2))$
no a koncovy bod spagatika je teda
$x^*(t)=x(t)+l(t)\sin(t/2)=a(t+\sin t)$
$y^*(t)=y(t)+l(t)\cos(t/2)=a(3+\cos t)$
teraz si treba premyslie, ze taku istu rovnicu dostaneme aj pre $t\in[-\pi,0]$ a tak isto aj pre vsetky ostatne hodnoty, len trba uvazovat aj to, ze sa potom ten spagatik uchytava aj v ostatnych spicoch.

Aby sme si overili, ze sa jedna o cykloidu, tak zavedme substituciu parametra $t=\tau+\pi$ a dostaneme
$x^*=a(\tau-\sin\tau)+\pi a$
$y^*=a(1-\cos\tau)+2a$
Takze sa jedna o taku istu cykloidu ako bola ta povodna, len je posunuta.

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2013 18:43

cykloida

#2 18. 03. 2013 00:55

Re: cykloida

Zápatí