Matematické Fórum

drabi · 17. 03. 2013 18:48

Ahoj,
potřebovala bych pomoct s prvním příkladem.

Zatím jsem dokázala, že $\psi_a$ je automorfismus, protože je to zobrazení do G a platí
$\psi_a(x*y) = a \cdot x\cdot y\cdot a^{-1}$
$\psi_a(x) \cdot \psi_a(y) = a \cdot x \cdot a^{-1} \cdot a \cdot y \cdot a^{-1} =a \cdot x \cdot e \cdot y \cdot a^{-1} =a \cdot x\cdot y\cdot a^{-1}$

Ale nejsem si teď jistá, jak dokázat další části.
Nebo spíš, ani jak si to představit, co je $\varphi$ za zobrazení.
Nejspíš chci tedy dokázat, že $\varphi(a*b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$ , kde $\varphi(a*b) = \psi_{a*b}$

Mohl by mi prosím někdo pomoct?

Co se týče poslední části, je jasné, že $Im(\varphi)$ je podgrupa $Aut(G)$ , ale bez pochopení zobrazení $\varphi$ s tím bohužel nehnu..

drabi · 17. 03. 2013 19:45

Trochu jsem s tím pohla, mám dokázáno, že se jedná o automorfismus (hom. + prosté + na) a že $\varphi$ je homomorfismus.
Ale nějak nemůžu hnout s tím, že to má být normální podgrupa.
Pomohl by mi prosím někdo?

Kondr · 17. 03. 2013 20:14 — Editoval Kondr (17. 03. 2013 21:19)

Podgrupa je normální když každý její prvek komutuje se všemi prvky grupy.

dále špatně Zobrazit/skrýt!

drabi · 17. 03. 2013 20:46

↑ Kondr:
Ahoj, díky za reakci.. tak zatím mám tohle
$\rho(x) = y$
$\psi_a(\rho(x)) = \psi_a(y) = a \cdot y \cdot a^{-1}$
$\rho(\psi_a(x)) = \rho(a \cdot x \cdot a^{-1}) = \rho(a) \cdot \rho(x) \cdot \rho(a^{-1}) = \rho(a) \cdot y \cdot \rho(a^{-1})$

a teď nevím, co s tím :(

Kondr · 17. 03. 2013 21:18 — Editoval Kondr (17. 03. 2013 21:20)

Aha, promiň, nemusí platit, že každý prvek $Im(\varphi)$ komutuje s každým $\rho$ , ale $\rho \circ Im(\varphi)=Im(\varphi)\circ \rho$ . Už jsi ukázala, že $\rho(\psi_a(x))=\psi_{\rho(a)}(\rho(x))$ , což ukazuje, že každý prvek množiny nalevo je prvkem množiny napravo a naopak. No a to stačí :)

drabi · 17. 03. 2013 21:29 — Editoval drabi (17. 03. 2013 21:31)

Takže tím je $\rho(Im(\psi))=Im(\psi)(\rho)$ dokázáno a tím pádem je to hotovo?

Kondr · 18. 03. 2013 08:21

Ano, tím je to hotovo.

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2013 18:48

automorfismy

#2 17. 03. 2013 19:45

Re: automorfismy

#3 17. 03. 2013 20:14 — Editoval Kondr (17. 03. 2013 21:19)

Re: automorfismy

#4 17. 03. 2013 20:46

Re: automorfismy

#5 17. 03. 2013 21:18 — Editoval Kondr (17. 03. 2013 21:20)

Re: automorfismy

#6 17. 03. 2013 21:29 — Editoval drabi (17. 03. 2013 21:31)

Re: automorfismy

#7 18. 03. 2013 08:21

Re: automorfismy

Zápatí