Matematické Fórum

Gambrielka · 18. 03. 2013 21:14

Dobrý večer, mám problém s jedním příkladem týkajícího se analytické geometrie. Zadání je: Určete množinu vrcholů C pravoúhlých trojúhelníků (s pravým úhlem u vrcholu C) sestrojených nad touž přeponou AB.

Je to jen část úlohy, tudíž je možné, že k ní budeme muset znát souřadnice bodů, které jsou zadány v předchozím úkolu: A(-1,3), B(0,2), C(-1,1). Nic víc už zadané nemám a třeba ani tyto body nejsou třeba pro vyřešení a řeší se nějak obecně, netuším právě...

Když jsem si nakreslila obrázek, tak mě napadlo, že použiju nějak Pythagorovu větu, tedy: $|B-A|^2=|C-A|^2+|C-B|^2$ . Pravděpodobě je to ale špatná úvaha, stejně nevím, jak pokračovat, co má být daná množina...

Předem děkuji za nápovědu.

Arabela · 18. 03. 2013 22:21

Ahoj ↑ Gambrielka:,
dobrá myšlienka.
Zvoľ si súradnicovú sústavu. $A[-\frac{c}{2},0]$ ,
$B[\frac{c}{2},0]$ ,
$C[x,y]$
Zapíš tú Pytagorovu vetu a upravuj... vyjde rovnica kružnice...

Gambrielka · 19. 03. 2013 16:52

Aha, takže z Pythagorovy věty mi vyšla rovnice: $x^2+y^2-\frac{c^2}{4}=0$

A dále jsem dosadila za x a y souřadnice bodu C: $1+1-\frac{c^2}{4}=0$ $\Rightarrow c^2=8$

Výsledná rovnice kružnice: k: $x^2+y^2-8=0$ . Je to prosím správně? Děkuji.

Takjo · 19. 03. 2013 17:17

↑ Gambrielka:
Dobrý den,
já to zadání chápu takto (ale možná se mýlím):

Určete množinu vrcholů C pravoúhlých trojúhelníků (s pravým úhlem u vrcholu C) sestrojených nad touž přeponou AB,
přičemž ramena pravých úhlů procházejí body A a B.

Takovou množinou je Thaletova kružnice, sestrojená nad průměrem AB.

Gambrielka · 19. 03. 2013 17:23

↑ Takjo:

Kdyby to bylo tak, jak říkáte, tak tím pádem už by se ani nic nezapisovalo, odpoveď by byla jednoduše Thaletova kružnice? Protože jestli by se nic neřešilo a tohle by byla odpoved, tak je spíše pravděpodobnější ten první postup, oni by nám určitě nedali tak "lehký" příklad, kde by se nic neřešilo :DD Ale pokud to není celé řešení, tak je to možné... já si právě s tímto příkladem nevěděla rady ...

Takjo · 19. 03. 2013 17:36

↑ Gambrielka:
Dobrý den,
samozřejmě byste musela napsat rovnici Thaletovy kružnice... :)

Gambrielka · 19. 03. 2013 18:50

Ale tím pádem by se tato rovnice Thalletovy kružnice shodovala s tou rovnicí kružnice, kterou jsem napsala výše podle postupu od Arabely, nebo snad ne? Taky bych si totiž musela zvolit body A, B, C a ty by byly opět $A[-\frac{c}{2},0]$ , $B[\frac{c}{2},0]$ , $C[x,y]$ ... Já nevím proč, ale pořád mi přijde, že se jedná o ten samý postup :D

Rumburak

↑ Gambrielka:
Ahoj.
Je to opravdu tatáž úloha. Její řešení metodami AG můžeme považovat za jeden z možných důkazů Thaletovy věty.

Avšak "analyticky čistší" by bylo řešení ne přes Pythagorovu větu (kdoví, zda jste ji v AG vůbec dokazovali),
ale přes skalární součin:

Trojúhelník ABC má při vrcholu C pravý úhel, právě když $(C-A)(C-B) = 0$ . Je-li tedy $A \ne B , S := \frac{A+B}{2}$ , dostáváme

$0 = (C-A)(C-B) = $(C-S) + (S-A)$ $(C-S) + (S-B)$ = \\=(C-S)(C-S) + (C-S)$(S-B) + (S-A)$ + (S-B)(S-A) = \\ = |C-S|^2 - $\frac{|A-B|}{2}$^2$ ,

odtud $|C-S|=\frac{|A-B|}{2}$ , což znamená, že bod $C$ leží na kružnici o středu $S$ a poloměru $\frac{|A-B|}{2}$ .

Gambrielka · 20. 03. 2013 16:12

↑ Rumburak:
A jak jste prosím dospěl k tomu druhému kroku $((C-S) + (S-A)).((C-S) + (S-B))$ ?? Já skončila u $(C-A).(C-B)=0$ , a potom nerozumím, jak se tam objevilo to S najednou...:/ Co je podle Vás $|\overrightarrow{AC}|=(C-A)=???$ Já teď nerozumím, co jste tam dosadil. Děkuji

Rumburak

↑ Gambrielka:

Když něco "odečtu a hned to zase přičtu" , tak se nic nepokazí - proto např.

7 - 5 = 7 - 6 + 6 - 5 = (7 - 6) + (6 - 5) = 1 + 1 = 2

(pokud to nepokazím já sám - chybným uzávorkováním), podobně C-A = (C-S) + (S-A) , kde z algebraického hlediska jde o

souhrnný zápis jistých dvou rovnic v oboru reálných čísel , jedna z těch rovnic je pro x-ové souřadnice, druhá pro y-ové.
Jsou-li např. $A =[a_1, a_2], B=[b_1, b_2]$ , potom rovnice $B-A = ( 5, 2)$ je souhrnným zápisem rovnic

$b_1 - a_1 = 5, b_2 - a_2 = 2$ .

Geometrickým významem "rozdílu dvou bodů" je samozřejmě vektor: $B-A =(b_1 - a_1 , b_2 - a_2) = \overrightarrow{AB}$ .

Takové triky, že se výraz nějak formálně obmění (ale při zachování jeho hodnoty), aby získal tvar vhodný pro nějakou další úpravu,
se v matematice dělají poměrně často.

EDIT. Vidím, že byly ještě další dotazy:

Velikost vektoru $\vec{v}$ je definována vzorcem $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}$ (pod odmocninou je skalární součin), takže zpětně $\vec{v}\cdot\vec{v} =|\vec{v}|^2$ ,
speciálně $(C-S)(C-S) = |C-S|^2$ .

Podrobněji ostaní úpravy:

$(S-B) + (S-A) = 2S - (A+B) = \vec{0}$ (viz způsob, tak byl bod $S$ zaveden), proto

$(C-S)$(S-B) + (S-A)$ = (C-S)\cdot \vec{0} = 0$ .

Konečně

$(S-B)(S-A) = $\frac{A+B}{2}-B$ $\frac{A+B}{2}-A$ = $\frac{A-B}{2}$ $\frac{B-A}{2}$ = \\= -$\frac{A-B}{2}$ $\frac{A-B}{2}$ =-\frac{|A-B|^2}{4}$ .

Gambrielka · 20. 03. 2013 17:09

↑ Rumburak:

Jo takhle, děkuji za vysvětlení, já na to pořád hleděla a nešlo mi to do hlavy :D Napíšu si pro jistotu oba způsoby, pokud tedy myslíte, že i ten první, ačkoliv méně přesný, je také správný, kdy mi vyšla rovnice po dosazení do Pythagorovky $x^2+y^2-\frac{c^2}{4}=0$ . Já nakonec za c dosadila ty souřadnice bodu C, ale nevím, zda je to správně, zda se to může... zadání znělo pouze, jak jsem napsala, ale jak jsem řekla, je to jen část jedné úlohy a v úkolu a) byly právě ty body zadány, myslíte, že je tímto způsobem řešení výsledek jen $x^2+y^2-\frac{c^2}{4}=0$ , anebo po dasazení $x^2+y^2-8=0$ ?? Děkuji moc za ochotu :))

Gambrielka · 20. 03. 2013 17:46

Jee, tohle řešení jsem dokonce i pochopila na poprvé :D děkuji :) samozřejme děkuji všem za pomoc, akorát některé postupy jsou na mne moc složité, tenhle postup je pro mě celkem přijatelný, ještě jednou velké díky :))

Rumburak

↑ Gambrielka:
Ještě dodám, že řešení pomocí Pythagorovy věty není "méně přesně", ale zda ho v AG smíme použít, závisí na tom,
zda už máme Pythagorovu větu v AG dokázanou. Je to problém logické výstavby AG, který se pokusím nastínit:

I v AG jsme inspirováni klasickou geometrii, například i Pythagorovou větou, a sice když definujeme vzdálenost dvou bodů
$A[a_1, a_2] , B[b_1, b_2]$ vzorcem $|AB| := \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 }$ , podobně jsme ispirováni
kosinovou větou, když definujeme úhel $\varphi \in \langle 0, \pi \rangle$ dvou nenulových vektorů $\vec{u} , \vec{v}$ rovnicí $\cos \varphi = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}$
a mohli bychom v podobných příkladech ještě chvíli pokračovat. Ale důležité je, že zde jde výhradně o DEFINICE nových
POJMŮ AG, při čemž Pythagorovu větu, kosinovou větu a pod. si z klasické geometrie jen dočasně "vypůjčujeme" , a sice
POUZE PRO TYTO KONKRETNÍ PŘÍLEŽITOSTI - jako návod k tomu, aby tyto definice byly správně pojaty a nebyly s klasickou
geometrií v rozporu.

Pokud bychom se chtěli na věty z ktasické geometrie odvolávat i při ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ v AG, museli bychom tyto věty
dříve dokázat pomocí prostředků AG, což sice není problém, ale ne vždy je na to pamatováno.

Matematika je ve své podstatě hra mající určitá pravidla, která jsem se pokusil přiblížit.

Gambrielka · 21. 03. 2013 16:41

:)) děkuji za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2013 21:14

Analytická geometrie kružnice

#2 18. 03. 2013 22:21

Re: Analytická geometrie kružnice

#3 19. 03. 2013 16:52

Re: Analytická geometrie kružnice

#4 19. 03. 2013 17:17

Re: Analytická geometrie kružnice

#5 19. 03. 2013 17:23

Re: Analytická geometrie kružnice

#6 19. 03. 2013 17:36

Re: Analytická geometrie kružnice

#7 19. 03. 2013 18:50

Re: Analytická geometrie kružnice

#8 20. 03. 2013 10:59 — Editoval Rumburak (20. 03. 2013 11:56)

Re: Analytická geometrie kružnice

#9 20. 03. 2013 16:12

Re: Analytická geometrie kružnice

#10 20. 03. 2013 16:56 — Editoval Rumburak (20. 03. 2013 17:40)

Re: Analytická geometrie kružnice

#11 20. 03. 2013 17:09

Re: Analytická geometrie kružnice

#12 20. 03. 2013 17:46

Re: Analytická geometrie kružnice

#13 21. 03. 2013 09:50 — Editoval Rumburak (21. 03. 2013 09:55)

Re: Analytická geometrie kružnice

#14 21. 03. 2013 16:41

Re: Analytická geometrie kružnice

Zápatí